Hipérbola

La hipérbola es una cónica. Para cada punto de la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos dados es siempre el mismo. Por cierto, en español existe también la palabra «hipérbole», que designa una exageración.

Qué aspecto tiene la hipérbola

La definición anterior suena un poco aterradora, así que fíjate primero en la figura de una hipérbola:

Observa que, a diferencia de las demás cónicas, como la elipse o la parábola, la hipérbola está formada por dos curvas. ¿Qué significa la definición anterior? Tenemos dos focos, F₁ y F₂. Para cada punto X de la hipérbola tiene que cumplirse que la diferencia |XF₁|−|XF₂| sea la misma en valor absoluto.

En la figura tenemos dos puntos, X₁ y X₂. Para X₁ la diferencia resulta: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, y en valor absoluto obtenemos 2. Para X₂ deberíamos obtener el mismo valor. Lo comprobamos: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, en valor absoluto 2 (que la longitud del lado X₂F₂ es igual a cinco puedes calcularlo, por ejemplo, con el teorema de Pitágoras).

Si aplicamos este procedimiento a todos los puntos de la hipérbola, siempre obtendremos el resultado 2.

Descripción de la hipérbola

Observa la figura ampliada de la hipérbola anterior:

• A los puntos F₁ y F₂ se les llama focos.
• El punto S se llama centro de la hipérbola y se encuentra en el punto medio del segmento F₁F₂.
• La recta F₁F₂ se llama eje real de la hipérbola. La perpendicular a este eje en el punto S se llama eje imaginario de la hipérbola.
• Los puntos de corte de la hipérbola con el eje real se llaman vértices de la hipérbola; en la figura son los puntos A y B.
• Cada uno de los segmentos AS y BS se llama semieje real de la hipérbola. Designamos su longitud por a.
• La longitud del semieje imaginario de la hipérbola la designamos por b.
• La distancia de un foco al centro se llama semidistancia focal y la designamos por e (en muchos libros españoles se denota c). Se cumple la relación:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Para que se vea mejor de dónde sale la longitud del semieje imaginario b, observa una figura más:

Se trata de la misma hipérbola, a la que se han añadido sobre todo las asíntotas, que son esas dos rectas moradas que se cruzan, a₁, a₂, y que pasan por el centro S. El semieje real a no cambia, sigue siendo el segmento AS. Ahora, sin embargo, señalamos sobre la asíntota un punto D de modo que la distancia |SD| sea igual a la semidistancia focal e. La longitud del segmento AD representa entonces la longitud del semieje imaginario de la hipérbola. Como se ve en la figura, se trata de un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras y, por tanto, se cumple la relación

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

La circunferencia utilizada tiene su centro en el punto S y solo muestra que la longitud |F₁S| (la semidistancia focal) es igual a la longitud |SD|.

Ecuación de la hipérbola

En la hipérbola distinguimos dos casos diferentes. Depende de si el eje real de la hipérbola es paralelo al eje OX o al eje OY. Sea una hipérbola con centro S de coordenadas (m, n).

• El eje real es paralelo al eje OX:

Ecuación:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• El eje real es paralelo al eje OY:

Ecuación:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$