Hiperbola

A hiperbola kúpszelet. A hiperbola minden pontjára igaz, hogy a két rögzített ponttól mért távolságai különbségének abszolút értéke mindig ugyanannyi. Mellesleg a retorikában a hiperbola a túlzás neve.

Hogyan néz ki a hiperbola

Az előző definíció kicsit ijesztően hangzik, ezért először nézd meg a hiperbola ábráját:

Vedd észre, hogy a többi kúpszelettel, például az ellipszissel vagy a parabolával ellentétben a hiperbola két görbéből áll. Mit jelent az előző definíció? Adott két fókuszpont, F₁ és F₂. A hiperbola minden X pontjára teljesülnie kell, hogy az |XF₁|−|XF₂| különbség abszolút értékben ugyanannyi.

Az ábrán két pont van, X₁ és X₂. Az X₁ pontra a különbség: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, abszolút értékben tehát 2 az eredmény. Ugyanezt az értéket kell kapnunk az X₂ pontra is. Próbáljuk ki: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, abszolút értékben 2 (azt, hogy az X₂F₂ oldal hossza öt, kiszámíthatod például a Pitagorasz-tétellel).

Ha ezt az eljárást a hiperbola minden pontjára alkalmazzuk, mindig 2 az eredmény.

A hiperbola leírása

Nézd meg az előző hiperbola kibővített ábráját:

• Az F₁ és F₂ pontokat fókuszpontoknak nevezzük.
• Az S pontot a hiperbola középpontjának nevezzük, és az F₁F₂ szakasz felezőpontjában van.
• Az F₁F₂ egyenes a hiperbola valós tengelye. Az erre a tengelyre az S pontban állított merőleges a hiperbola képzetes tengelye.
• A hiperbola és a valós tengely metszéspontjait a hiperbola csúcsainak nevezzük, az ábrán ezek az A és B pontok.
• Az AS és a BS szakasz mindegyikét a hiperbola valós féltengelyének nevezzük. A hosszukat a-val jelöljük.
• A hiperbola képzetes féltengelyének hosszát b-vel jelöljük.
• A fókuszpont és a középpont távolságát excentricitásnak nevezzük, jelölése e. Érvényes az összefüggés:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Hogy jobban látsszon, honnan származik a b képzetes féltengely hossza, nézz meg még egy ábrát:

Ez ugyanaz a hiperbola, amelyen főleg az aszimptoták jelentek meg, vagyis az a két egymást metsző lila egyenes, a₁, a₂, amelyek az S középponton haladnak át. Az a valós féltengely változatlan marad, még mindig az AS szakasz. Most azonban felmérünk az aszimptotára egy D pontot úgy, hogy az |SD| távolság egyenlő legyen az e excentricitással. Az AD szakasz hossza ekkor a hiperbola képzetes féltengelyének hossza. Ahogy az ábrán látható, derékszögű háromszögről van szó, ezért használhatjuk a Pitagorasz-tételt, és ezért érvényes az összefüggés

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

A használt kör középpontja az S pontban van, és csak azt mutatja, hogy az |F₁S| hossz (az excentricitás) megegyezik az |SD| hosszal.

A hiperbola egyenlete

A hiperbolánál két különböző esetet különböztetünk meg. Ez attól függ, hogy a hiperbola valós tengelye az x vagy az y tengellyel párhuzamos. Legyen a hiperbola középpontja az S pont, amelynek koordinátái (m; n).

• A valós tengely párhuzamos az x tengellyel:

Egyenlet:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• A valós tengely párhuzamos az y tengellyel:

Egyenlet:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$