Hipérbole

A hipérbole é uma cônica. Para cada ponto da hipérbole vale que o valor absoluto da diferença das distâncias a dois pontos fixos dados é sempre o mesmo. Aliás, em português, hipérbole é também o nome de uma figura de linguagem: o exagero.

Como é a hipérbole

A definição anterior soa um pouco assustadora, então primeiro observe a figura de uma hipérbole:

Observe que, ao contrário das outras cônicas, como a elipse ou a parábola, a hipérbole é composta de duas curvas. O que significa a definição anterior? São dados dois focos, F₁ e F₂. Para cada ponto X da hipérbole deve valer que a diferença |XF₁|−|XF₂| é, em valor absoluto, a mesma.

Na figura temos dois pontos, X₁ e X₂. Para X₁, a diferença resulta: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, e em valor absoluto obtemos o resultado 2. Devemos obter o mesmo valor para X₂. Vamos tentar: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, em valor absoluto 2 (você pode verificar que o comprimento do lado X₂F₂ é igual a cinco, por exemplo, pelo teorema de Pitágoras).

Se aplicarmos esse procedimento a todos os pontos da hipérbole, sempre obtemos o resultado 2.

Descrição da hipérbole

Observe a figura ampliada da hipérbole anterior:

• Os pontos F₁ e F₂ chamam-se focos.
• O ponto S chama-se centro da hipérbole e fica no ponto médio do segmento F₁F₂.
• A reta F₁F₂ chama-se eixo real (transverso) da hipérbole. A perpendicular a esse eixo no ponto S chama-se eixo imaginário (conjugado) da hipérbole.
• As interseções da hipérbole com o eixo real chamam-se vértices da hipérbole; na figura são os pontos A e B.
• Cada um dos segmentos AS e BS chama-se semieixo real da hipérbole. Indicamos seu comprimento por a.
• Indicamos por b o comprimento do semieixo imaginário da hipérbole.
• A distância do foco ao centro chama-se semidistância focal e a indicamos por e (em muitos livros brasileiros, por c; atenção: no Brasil, a “excentricidade” é a razão e = c/a). Vale a relação:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Para ficar mais fácil ver de onde veio o comprimento do semieixo imaginário b, observe mais uma figura:

Trata-se da mesma hipérbole, em que principalmente foram acrescentadas as assíntotas, que são aquelas duas retas roxas cruzadas a₁, a₂, que passam pelo centro S. O semieixo real a permanece inalterado, continua sendo o segmento AS. Agora, porém, marcamos na assíntota o ponto D de modo que a distância |SD| seja igual à semidistância focal e. O comprimento do segmento AD representa então o comprimento do semieixo imaginário da hipérbole. Como se vê na figura, trata-se de um triângulo retângulo, então podemos usar o teorema de Pitágoras, e por isso vale a relação

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

A circunferência usada tem centro no ponto S e apenas mostra que o comprimento |F₁S| (a semidistância focal) é igual ao comprimento |SD|.

Equação da hipérbole

Na hipérbole distinguimos dois casos diferentes. Depende de o eixo real da hipérbole ser paralelo ao eixo x ou ao eixo y. Seja a hipérbole de centro S com coordenadas (m, n).

• O eixo real é paralelo ao eixo x:

Equação:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• O eixo real é paralelo ao eixo y:

Equação:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$