Hiperbol

Hiperbol bir konik kesittir. Hiperbolün her noktası için, iki sabit noktaya uzaklıkları farkının mutlak değeri her zaman aynıdır. Bu arada, abartıya (mübalağaya) edebiyatta da “hiperbol” denir.

Hiperbol nasıl görünür

Önceki tanım biraz korkutucu geliyor, o yüzden önce hiperbolün şekline bak:

Dikkat edersen hiperbol, elips ya da parabol gibi diğer konik kesitlerden farklı olarak iki eğriden oluşur. Önceki tanım ne demek? İki odağımız var, F₁ ve F₂. Hiperbol üzerindeki her X noktası için |XF₁|−|XF₂| farkının mutlak değeri aynı olmalıdır.

Şekilde X₁ ve X₂ olmak üzere iki nokta var. X₁ için fark şöyle çıkar: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, mutlak değeri ise 2 olur. X₂ için de aynı değeri bulmamız gerekir. Deneyelim: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, mutlak değeri 2 (ör. Pisagor teoremiyle X₂F₂ kenarının uzunluğunun 5 olduğunu hesaplayabilirsin).

Bu yöntemi hiperbolün tüm noktalarına uygularsak her zaman 2 sonucunu buluruz.

Hiperbolün tanımı

Önceki hiperbolün genişletilmiş şekline bak:

• F₁ ve F₂ noktalarına odak denir.
• S noktasına hiperbolün merkezi denir ve F₁F₂ doğru parçasının orta noktasında bulunur.
• F₁F₂ doğrusuna hiperbolün asal ekseni denir. Bu eksene S noktasında çizilen dikmeye hiperbolün yedek ekseni denir.
• Hiperbolün asal eksenle kesişim noktalarına hiperbolün köşeleri denir; şekilde bunlar A ve B noktalarıdır.
• AS ve BS doğru parçalarının her birine hiperbolün yarı asal ekseni denir. Uzunluğunu a ile gösteririz.
• Hiperbolün yarı yedek ekseninin uzunluğunu b ile gösteririz.
• Odağın merkeze uzaklığına odak–merkez uzaklığı denir, e ile gösteririz. Şu bağıntı geçerlidir:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Yarı yedek eksenin b uzunluğunun nereden geldiği daha iyi görülsün diye bir şekle daha bak:

Aynı hiperbol, ama bu kez özellikle merkez S’den geçen ve birbirini kesen iki mor doğru olan a₁, a₂ asimptotları eklendi. Yarı asal eksen a değişmedi, hâlâ AS doğru parçasıdır. Ama şimdi asimptot üzerine bir D noktası öyle işaretliyoruz ki |SD| uzaklığı odak–merkez uzaklığı e’ye eşit olsun. AD doğru parçasının uzunluğu hiperbolün yarı yedek ekseninin uzunluğunu verir. Şekilden de görüldüğü gibi bu bir dik üçgendir; bu yüzden Pisagor teoremini kullanabiliriz ve şu bağıntı geçerlidir:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Kullanılan çemberin merkezi S noktasındadır ve yalnızca |F₁S| uzunluğunun (odak–merkez uzaklığının) |SD| uzunluğuyla aynı olduğunu gösterir.

Hiperbolün denklemi

Hiperbolde iki farklı durumu ayırt ederiz. Hiperbolün asal ekseninin x eksenine mi yoksa y eksenine mi paralel olduğuna bağlıdır. Merkezi, koordinatları (m, n) olan S noktasında bulunan bir hiperbol alalım.

• Asal eksen x eksenine paralel:

Denklem:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Asal eksen y eksenine paralel:

Denklem:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$