Hyperbel

Hyperblen er et keglesnit. For ethvert punkt på hyperblen gælder, at den numeriske værdi af forskellen mellem afstandene til to faste punkter altid er den samme. I øvrigt betyder hyperbel på dansk også en overdrivelse.

Hvordan en hyperbel ser ud

Den foregående definition lyder lidt uhyggelig, så se først på en figur af en hyperbel:

Læg mærke til, at hyperblen i modsætning til de andre keglesnit som ellipsen og parablen består af to kurver. Hvad betyder definitionen ovenfor? Vi har to brændpunkter, F₁ og F₂. For ethvert punkt X på hyperblen skal forskellen |XF₁|−|XF₂| have den samme numeriske værdi.

På figuren har vi to punkter X₁ og X₂. For X₁ får vi forskellen: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, og den numeriske værdi er så 2. Den samme værdi skal vi få for X₂. Vi prøver det: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, den numeriske værdi er 2 (at længden af siden X₂F₂ er fem, kan du for eksempel beregne ved hjælp af Pythagoras' sætning).

Hvis vi bruger denne fremgangsmåde på alle punkter på hyperblen, får vi altid resultatet 2.

Beskrivelse af hyperblen

Se på en udvidet figur af den foregående hyperbel:

• Punkterne F₁ og F₂ kaldes brændpunkter.
• Punktet S kaldes hyperblens centrum og ligger midt på linjestykket F₁F₂.
• Linjen F₁F₂ kaldes hyperblens hovedakse. Normalen på denne akse i punktet S kaldes hyperblens konjugerede akse.
• Skæringspunkterne mellem hyperblen og hovedaksen kaldes hyperblens toppunkter, på figuren er det punkterne A og B.
• Hvert af linjestykkerne AS og BS kaldes hyperblens halve hovedakse. Deres længde betegner vi a.
• Længden af hyperblens halve konjugerede akse betegner vi b.
• Afstanden fra et brændpunkt til centrum kaldes excentriciteten, vi betegner den e. Der gælder sammenhængen:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

For at det bedre kan ses, hvor længden af den halve konjugerede akse b kommer fra, skal du se på endnu en figur:

Det er den samme hyperbel, hvor der især er kommet asymptoter til, nemlig de to krydsende lilla linjer a₁, a₂, som går gennem centrum S. Den halve hovedakse a er uændret, det er stadig linjestykket AS. Nu afsætter vi dog et punkt D på asymptoten, så afstanden |SD| er lig med excentriciteten e. Længden af linjestykket AD er så længden af hyperblens halve konjugerede akse. Som det ses af figuren, er det en retvinklet trekant, så vi kan bruge Pythagoras' sætning, og derfor gælder sammenhængen

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Den anvendte cirkel har centrum i punktet S og viser blot, at længden |F₁S| (excentriciteten) er den samme som længden |SD|.

Hyperblens ligning

For hyperblen skelner vi mellem to forskellige tilfælde. Det afhænger af, om hyperblens hovedakse er parallel med x-aksen eller med y-aksen. Lad os se på en hyperbel med centrum S med koordinaterne (m, n).

• Hovedaksen er parallel med x-aksen:

Ligning:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Hovedaksen er parallel med y-aksen:

Ligning:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$