Iperbole

L’iperbole è una sezione conica. Per ogni punto dell’iperbole il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi dati è sempre lo stesso. A proposito, anche in italiano «iperbole» indica un’esagerazione, una figura retorica.

Che aspetto ha l’iperbole

La definizione precedente suona un po’ spaventosa, quindi guarda prima di tutto la figura dell’iperbole:

Osserva che, a differenza delle altre sezioni coniche come l’ellisse o la parabola, l’iperbole è formata da due curve. Che cosa significa la definizione precedente? Abbiamo due fuochi, F₁ e F₂. Per ogni punto X dell’iperbole la differenza |XF₁|−|XF₂| deve avere sempre lo stesso valore assoluto.

Nella figura abbiamo due punti X₁ e X₂. Per X₁ la differenza risulta: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, in valore assoluto quindi otteniamo 2. Lo stesso valore dovremmo ottenere per X₂. Proviamo: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, in valore assoluto 2 (che la lunghezza del lato X₂F₂ sia uguale a cinque puoi calcolarlo, per esempio, con il teorema di Pitagora).

Se applichiamo questo procedimento a tutti i punti dell’iperbole, otteniamo sempre il risultato 2.

Descrizione dell’iperbole

Osserva una figura più ricca della stessa iperbole:

• I punti F₁ e F₂ si chiamano fuochi.
• Il punto S si chiama centro dell’iperbole e si trova nel punto medio del segmento F₁F₂.
• La retta F₁F₂ si chiama asse trasverso dell’iperbole. La perpendicolare a questo asse nel punto S si chiama asse non trasverso dell’iperbole.
• Le intersezioni dell’iperbole con l’asse trasverso si chiamano vertici dell’iperbole, nella figura sono i punti A e B.
• Ciascuno dei segmenti AS e BS si chiama semiasse trasverso dell’iperbole. La loro lunghezza la indichiamo con a.
• La lunghezza del semiasse non trasverso dell’iperbole la indichiamo con b.
• La distanza del fuoco dal centro si chiama eccentricità (più precisamente eccentricità lineare), la indichiamo con e. Vale la relazione:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

(Attenzione: nei libri di scuola italiani questa distanza si indica di solito con c e si chiama semidistanza focale, mentre l’eccentricità è il rapporto $\frac{c}{a}$, che per l’iperbole è sempre maggiore di 1. Qui, come nelle figure, la distanza la indichiamo con e.)

Per vedere meglio da dove viene la lunghezza del semiasse non trasverso b, osserva ancora una figura:

Si tratta della stessa iperbole, a cui sono stati aggiunti soprattutto gli asintoti, cioè le due rette viola incrociate a₁, a₂, che passano per il centro S. Il semiasse trasverso a resta invariato, è ancora il segmento AS. Ora però sull’asintoto riportiamo il punto D in modo che la distanza |SD| sia uguale all’eccentricità e. La lunghezza del segmento AD rappresenta allora la lunghezza del semiasse non trasverso dell’iperbole. Come si vede dalla figura, si tratta di un triangolo rettangolo, quindi possiamo usare il teorema di Pitagora e perciò vale la relazione

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

La circonferenza usata ha il centro nel punto S e mostra soltanto che la lunghezza |F₁S| (l’eccentricità) è uguale alla lunghezza |SD|.

Equazione dell’iperbole

Per l’iperbole distinguiamo due casi diversi. Dipende dal fatto che l’asse trasverso dell’iperbole sia parallelo all’asse x o all’asse y. Sia data un’iperbole con il centro S di coordinate (m; n).

• L’asse trasverso è parallelo all’asse x:

Equazione:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• L’asse trasverso è parallelo all’asse y:

Equazione:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$