Hyperbeli

Hyperbeli on kartioleikkaus. Jokaiselle hyperbelin pisteelle pätee, että etäisyyksien erotuksen itseisarvo kahdesta kiinteästä pisteestä on aina sama. Muuten kielenopissa sana hyperbola tarkoittaa liioittelua, matematiikan käyrä on kuitenkin suomeksi hyperbeli.

Miltä hyperbeli näyttää

Edellinen määritelmä kuulostaa hieman pelottavalta, joten katso ensin kuvaa hyperbelistä:

Huomaa, että toisin kuin muut kartioleikkaukset, kuten ellipsi tai paraabeli, hyperbeli koostuu kahdesta käyrästä. Mitä edellinen määritelmä tarkoittaa? Meillä on annettu kaksi polttopistettä, F₁ ja F₂. Jokaiselle hyperbelin pisteelle X täytyy päteä, että erotus |XF₁|−|XF₂| on itseisarvoltaan sama.

Kuvassa on kaksi pistettä X₁ ja X₂. Pisteelle X₁ erotukseksi tulee: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, itseisarvona saamme tuloksen 2. Saman arvon pitäisi tulla pisteelle X₂. Kokeillaan: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, itseisarvona 2 (sen, että sivun X₂F₂ pituus on viisi, voit laskea esimerkiksi Pythagoraan lauseella).

Jos sovellamme tätä menettelyä kaikkiin hyperbelin pisteisiin, saamme aina tuloksen 2.

Hyperbelin kuvaus

Katso edellisen hyperbelin laajennettua kuvaa:

• Pisteitä F₁ ja F₂ kutsutaan polttopisteiksi.
• Pistettä S kutsutaan hyperbelin keskipisteeksi, ja se on janan F₁F₂ keskipisteessä.
• Suoraa F₁F₂ kutsutaan hyperbelin pääakseliksi. Tämän akselin pisteeseen S piirrettyä kohtisuoraa kutsutaan hyperbelin sivuakseliksi.
• Hyperbelin ja pääakselin leikkauspisteitä kutsutaan hyperbelin kärjiksi, kuvassa ne ovat pisteet A ja B.
• Kumpaakin janoista AS ja BS kutsutaan hyperbelin pääpuoliakseliksi. Niiden pituutta merkitsemme a.
• Hyperbelin sivupuoliakselin pituutta merkitsemme b.
• Polttopisteen etäisyyttä keskipisteestä kutsutaan eksentrisyydeksi, ja sitä merkitsemme e. Pätee yhteys:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Jotta näkyisi paremmin, mistä sivupuoliakselin pituus b tulee, katso vielä yhtä kuvaa:

Kyseessä on sama hyperbeli, johon on tullut ennen kaikkea asymptootit eli ne kaksi ristikkäistä violettia suoraa a₁, a₂, jotka kulkevat keskipisteen S kautta. Pääpuoliakseli a pysyy muuttumattomana, se on edelleen jana AS. Nyt asymptootille merkitään kuitenkin piste D niin, että etäisyys |SD| on yhtä suuri kuin eksentrisyys e. Janan AD pituus on silloin hyperbelin sivupuoliakselin pituus. Kuten kuvasta näkyy, kyseessä on suorakulmainen kolmio, joten voimme käyttää Pythagoraan lausetta, ja siksi pätee yhteys

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Käytetyn ympyrän keskipiste on S, ja se vain osoittaa, että pituus |F₁S| (eksentrisyys) on sama kuin pituus |SD|.

Hyperbelin yhtälö

Hyperbelillä erotetaan kaksi eri tapausta. Se riippuu siitä, onko hyperbelin pääakseli yhdensuuntainen x-akselin vai y-akselin kanssa. Olkoon hyperbelin keskipiste S, jonka koordinaatit ovat (m, n).

• Pääakseli on yhdensuuntainen x-akselin kanssa:

Yhtälö:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Pääakseli on yhdensuuntainen y-akselin kanssa:

Yhtälö:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$