İntegral

Bir fonksiyonun integralini alma işlemi, fonksiyonun türevini alma işleminin tersidir.

İlkel Fonksiyon

Kolay bir soruyla başlayalım. f(x) = 2x fonksiyonu verilsin. Şimdi türevi alındığında f fonksiyonuna eşit olan bir F fonksiyonu bulalım. Biçimsel olarak yazarsak, F′ = f olacak şekilde bir F fonksiyonu arıyoruz.

Türev hesaplamak için temel formüllerden bunun F(x) = x² fonksiyonu olduğunu biliyoruz. x² fonksiyonunun türevi tam olarak 2x’tir. Soru şu: Bu koşulu sağlayan tek fonksiyon bu mu?

Cevap hayır — x² fonksiyonuna herhangi bir gerçek sabit eklersek, türevini aldığımızda yine 2x elde ederiz, çünkü sabitin türevi sıfırdır. C bir gerçek sabit olmak üzere x² + C biçimindeki her fonksiyon, aradığımız F fonksiyonu sayılabilir.

Bu soruyu genelleştirebiliriz. Gerçek değerli bir f fonksiyonu verilsin ve f fonksiyonunun tanım kümesindeki ya da tanım kümesinin aralık olan bir alt kümesindeki tüm x değerleri için F′(x) = f(x) olacak şekilde bir F fonksiyonu bulalım. Bu fonksiyon tek olmak zorunda değildir, öte yandan böyle bir fonksiyon hiç var olmayabilir de.

Bu F fonksiyonuna, f fonksiyonunun ilkel fonksiyonu diyoruz. Şöyle yazarız:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

f fonksiyonuna integrali alınan fonksiyon, ilkel fonksiyonu bulma işlemine ise integral alma denir. dx ifadesi, hangi değişkene göre integral aldığımızı gösterir. Örneği şöyle yazarsak

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

4x³ fonksiyonunun ilkel fonksiyonunu bulmak istiyoruz ve x değişkenine göre integral alıyoruz. Sonuç x⁴ fonksiyonu olabilir; türevi alındığında tam olarak 4x³ olur. Elbette bu fonksiyona istediğimiz gerçek sabiti ekleyebiliriz.

İlkel fonksiyonun ya hiç var olmadığı ya da her zaman C bir gerçek sabit olmak üzere F(x) + C biçiminde olduğu kanıtlanabilir — ve bu durumda sonsuz çoktur, çünkü sonsuz çoklukta gerçek sabitimiz var. Yani bir F(x) fonksiyonu bulursak, tüm ilkel fonksiyonları üretebiliriz. Aynı zamanda bu yolla üretemeyeceğimiz hiçbir fonksiyon, aradığımız fonksiyonun ilkel fonksiyonu değildir.

dx ifadesi hakkında birkaç söz daha. Çok gizemli görünür ama gerçekten yalnızca hangi değişkene göre integral aldığımızı belirtir. Örneğin elimizde şu integral varsa

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

b değişkenine göre integral alıyoruz ve diğer harfler a ile c sabit gibi davranır. Yani sanki orada sayılar varmış gibi işlem yaparız.

Temel Fonksiyonların İntegrali

Bazı temel fonksiyonların ilkel fonksiyonlarını bulmak için gereken formülleri kolayca çıkarabiliriz. Bu yazı boyunca C ∈ ℝ olduğunu varsayalım.

Sıfır fonksiyonu olan f(x) = 0 ile başlayalım. Türevi alındığında sıfır olan fonksiyon hangisidir? Yalnızca sabit içeren herhangi bir fonksiyon:

$$\int 0\text{ d}x=C$$

Sonra f(x) = 1 fonksiyonu. x′ = 1 olduğundan, birin integrali şuna eşit olur:

$$\int 1\text{ d}x=x+C$$

Sıradaki fonksiyon f(x) = x. Sonuç olarak x elde etmek için hangi fonksiyonun türevini almalıyız? x²’nin türevini alırsak 2x buluruz. Böylece istediğimiz yere neredeyse geldik. İkiye bölmemiz yeter. Yani (x²)/2’nin türevini alırsak tam olarak x elde ederiz.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Bunu xⁿ fonksiyonuna genelleştirirsek (n ∈ ℝ) şu formülü elde ederiz:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Dikkat et, bu formül n = −1 için geçerli değildir, çünkü sıfıra bölmüş oluruz ve bu yapılmaz, hiç hoş değildir. O hâlde n = −1 ise f(x) = x⁻¹ fonksiyonunu, yani 1/x fonksiyonunu elde ederiz. 1/x elde etmek için hangi fonksiyonun türevini almalıyız? Logaritmanın.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+C$$

Sorun şu ki logaritma yalnızca pozitif gerçek sayılar için tanımlıdır; bu yüzden bu formül f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x için geçerli değildir. Ancak (0, ∞) aralığında geçerlidir. (−∞, 0) aralığında ise logaritmanın argümanının işaretini değiştirmemiz yeterlidir: ln(−x). İkisini birleştirirsek şunu yazabiliriz:

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+C$$

Bu formül tanım kümesindeki tüm x değerleri için geçerlidir. Örneğin trigonometrik fonksiyonlar için diğer integralleri aşağıdaki tabloda bulabilirsin:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+Ca>0,a\ne 1\text{ için}\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+C\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+C\end{array}$$

Toplamın İntegrali

Bir fonksiyonun türevini hesaplamak çoğunlukla oldukça basittir ve — dedikleri gibi — iyi eğitilmiş bir maymun bile yapabilir, çünkü genellikle doğrudan formüllere göre ilerlenir; integralde ise durum farklıdır. İntegral hesaplama yöntemleri oldukça karmaşıktır; bu yüzden integral bulmak, türev hesaplamaktan çok daha zordur. Bunun başlıca nedeni, toplamın integrali için kullanışlı bir formülümüz olmasına karşın çarpımın integrali için böyle bir formülün olmamasıdır.

Şu integrali hesaplamayı deneyelim:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Bunu nasıl hesaplayabiliriz? Türevi alındığında x veren bir fonksiyona, sonra da 1 veren başka bir fonksiyona ihtiyacımız var. Formüllerden bunların (x²)/2 ve x fonksiyonları olduğunu biliyoruz. Bu fonksiyonları toplarsak f(x) = (x²)/2 + x elde ederiz. Bu fonksiyonun türevini alınca x + 1 buluruz. Böylece sonucu bulduk:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+C$$

Hesap sırasında bir özellikten yararlandık — toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Yani

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Bu aynı zamanda çıkarma için de geçerlidir:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Bu yüzden önceki örneği şöyle açabilirdik:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Sabitin İntegral Dışına Alınması

Benzer bir kural, sabiti integralin önüne almak için de geçerlidir. Elimizde şu biçimde bir integral varsa:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

burada a bir gerçek sabit olmak üzere, bu sabiti integralin dışına çıkarabiliriz:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Örnek

Şu integrali hesapla:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

İlk adımda bunu üç integrale ayıralım:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

İntegralleri sırayla çözeceğiz. İlk integrali doğrudan xⁿ kuvvetleri için olan formülle çözebiliriz:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+C$$

İkinci integralde önce 6’yı integralin dışına çıkaralım:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

x’in integrali de bir temel integraldir, (x²)/2’ye eşittir. Böylece şunu elde ederiz:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+C$$

Son integralde de önce 42’yi integralin dışına çıkaralım:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Bu da yine bir temel integraldir:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+C$$

Bu üç integrali toplarız ve sonucu elde ederiz:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+C$$

Bir not daha — her bir integralde bir C sabiti elde ettik, dolayısıyla toplarken sonuca +C yerine +3C yazmamız gerekirdi. Ancak C herhangi bir gerçek sabittir; 3C de yine bir gerçek sayıya eşit olur. Bu integrallerdeki C sabitlerini C₁, C₂, C₃ ile değiştirip sonra C = C₁ + C₂ + C₃ diyebilirdik.