Integrasjon og antiderivert

Prosessen med å integrere en funksjon er den motsatte av prosessen med å derivere en funksjon.

Antiderivert

Vi begynner med en lett oppgave. Vi har funksjonen f(x) = 2x. Vi skal finne en funksjon F som blir lik funksjonen f når vi deriverer den. Formelt skrevet leter vi etter en funksjon F slik at F′ = f.

Fra grunnformlene for å regne ut deriverte vet vi at det er funksjonen F(x) = x². Den deriverte til funksjonen x² er nettopp 2x. Spørsmålet er om denne funksjonen er den eneste som oppfyller betingelsen.

Svaret er nei. Hvis vi legger til en vilkårlig reell konstant til funksjonen x², får vi igjen funksjonen 2x etter derivasjon, fordi den deriverte til en konstant er null. Enhver funksjon på formen x² + C, der C er en reell konstant, kan regnes som den funksjonen F vi leter etter.

Denne oppgaven kan vi generalisere. La f være en reell funksjon, og la oss finne en funksjon F som oppfyller F′(x) = f(x) for alle x i D_f, eventuelt i et intervall i definisjonsmengden. Denne funksjonen er ikke nødvendigvis entydig bestemt, men på den andre siden trenger en slik funksjon heller ikke å finnes i det hele tatt.

Denne funksjonen F kaller vi en antiderivert til funksjonen f. Vi skriver:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Funksjonen f kalles integranden, og prosessen med å finne en antiderivert kalles integrasjon. Uttrykket dx viser hvilken variabel vi integrerer med hensyn på. Hvis vi skriver et eksempel slik

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

vil vi finne en antiderivert til funksjonen 4x³, og vi integrerer med hensyn på variabelen x. Resultatet kan altså være funksjonen x⁴, som blir lik 4x³ når vi deriverer den. Selvfølgelig kan vi legge til en vilkårlig reell konstant til denne funksjonen.

Man kan bevise at en antiderivert enten ikke finnes, eller alltid har formen F(x) + C, der C er en reell konstant, og da finnes det uendelig mange, fordi vi har uendelig mange reelle konstanter. Hvis vi finner en funksjon F(x), kan vi altså lage alle antideriverte. Samtidig gjelder det at ingen annen funksjon, som vi ikke lager på denne måten, er en antiderivert til funksjonen vi leter etter.

Noen ord til om uttrykket dx. Det virker veldig mystisk, men det viser egentlig bare hvilken variabel vi integrerer med hensyn på. Hvis vi for eksempel har integralet

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

betyr det at vi integrerer med hensyn på variabelen b og at de andre bokstavene a og c oppfører seg som konstanter. Altså oppfører de seg på samme måte som om det stod tall der.

Integrasjon av elementære funksjoner

Vi kan enkelt utlede formler for å regne ut antideriverte til noen elementære funksjoner. Gjennom hele kapitlet antar vi at C ∈ ℝ.

Vi begynner med funksjonen f(x) = 0, nullfunksjonen. Hvilken funksjon blir lik null når vi deriverer den? En hvilken som helst funksjon som bare inneholder en konstant:

$$\int 0\text{ d}x=C$$

Videre funksjonen f(x) = 1. Det gjelder at x′ = 1, så integralet av én blir lik

$$\int 1\text{ d}x=x+C$$

Den neste i rekken er funksjonen f(x) = x. Hvilken funksjon må vi derivere for å få x som resultat? Hvis vi deriverer x², får vi 2x. Da er vi nesten der vi ville være. Det er nok å dele på to. Hvis vi deriverer (x²)/2, får vi nettopp x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Hvis vi generaliserer dette til funksjonen xⁿ, der n ∈ ℝ, får vi formelen:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Legg merke til at denne formelen ikke gjelder for n = −1, for da ville vi dele på null, og det gjør vi ikke, det er ikke pent. Hvis vi har n = −1, får vi funksjonen f(x) = x⁻¹, som er funksjonen 1/x. Hvilken funksjon må vi derivere for å få 1/x? Det er logaritmen.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+C$$

Problemet er at logaritmen bare er definert for positive reelle tall, så denne formelen gjelder ikke for alle x i D_f. Men den gjelder for intervallet ⟨0, → ⟩. For intervallet ⟨ ← , 0⟩ bytter vi bare fortegn på argumentet til logaritmen: ln(−x). Når vi setter det sammen, kan vi skrive

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+C$$

Denne formelen gjelder for alle x ∈ D_f. Flere integraler, for eksempel for trigonometriske funksjoner, finner du i denne tabellen:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+C\text{for }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+C\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+C\end{array}$$

Integralet av en sum

Mens det å regne ut den deriverte til en funksjon som regel er ganske enkelt og, som man sier, klarer til og med en trent ape, siden vi vanligvis går rett etter formlene, er situasjonen en annen for integraler. Framgangsmåtene for å regne ut integraler er ganske mye mer kompliserte, og derfor er oppgaven å finne et integral mye vanskeligere enn å regne ut en derivert. Det kommer først og fremst av at vi riktignok har en pen formel for integralet av en sum, men ikke for integralet av et produkt.

Vi prøver å regne ut dette integralet:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Hvordan kan vi regne det ut? Vi trenger en funksjon som gir x når vi deriverer den, og så en annen funksjon som gir 1. Fra formlene vet vi allerede at det er funksjonene (x²)/2 og x. Hvis vi legger sammen disse funksjonene, får vi f(x) = (x²)/2 + x. Når vi deriverer denne funksjonen, får vi x + 1. Dermed har vi fått resultatet:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+C$$

Under utregningen brukte vi én egenskap: integralet av en sum er lik summen av integralene. Altså

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Det gjelder også for subtraksjon:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Derfor kunne vi skrive det forrige eksempelet ut slik:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Å sette en konstant utenfor

En lignende setning gjelder også for å sette en konstant utenfor integralet. Hvis vi har et integral på formen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

der a er en reell konstant, kan vi sette denne konstanten utenfor integralet:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Eksempel

Regn ut integralet:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

I det første steget deler vi det opp i tre integraler:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Integralene løser vi etter tur. Det første integralet kan vi løse direkte etter formelen for potenser xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+C$$

I det andre integralet setter vi først seksen utenfor:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Integralet av x er igjen en tabellverdi, det er lik (x²)/2. Vi får altså:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+C$$

I det siste integralet setter vi også først 42 utenfor:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Og det er igjen en tabellverdi:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+C$$

Disse delintegralene legger vi sammen, og så har vi resultatet:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+C$$

En merknad til: i hvert delintegral fikk vi en konstant C, så når vi legger sammen, burde vi skrive +3C i stedet for +C i resultatet. Men C er en vilkårlig reell konstant, så 3C er igjen lik et reelt tall. Vi kunne bytte ut C i delintegralene med C₁, C₂, C₃ og så si at C = C₁ + C₂ + C₃.