Integraal

Het integreren van een functie is het omgekeerde proces van het differentiëren van een functie.

Primitieve functie

We beginnen met een gemakkelijke opgave. Stel dat we de functie f(x) = 2x hebben. We zoeken nu een functie F die na differentiëren gelijk is aan de functie f. Formeel opgeschreven zoeken we een functie F waarvoor geldt F′ = f.

Uit de basisformules voor het berekenen van afgeleiden weten we dat dit de functie F(x) = x² is. De afgeleide van de functie x² is precies 2x. De vraag is of deze functie de enige is die aan de voorwaarde voldoet.

Het antwoord is dat dat niet zo is — als we bij de functie x² een willekeurige reële constante optellen, krijgen we na differentiëren weer de functie 2x, want de afgeleide van een constante is nul. Elke functie van de vorm x² + c, waarbij c een reële constante is, kan worden gezien als de door ons gezochte functie F.

Deze opgave kunnen we generaliseren. Stel dat we een reële functie f hebben en een functie F zoeken waarvoor geldt F′(x) = f(x) voor alle x uit D_f, of eventueel uit een interval uit het domein. Deze functie is niet noodzakelijk eenduidig gegeven, maar aan de andere kant hoeft zo'n functie ook helemaal niet te bestaan.

Deze functie F noemen we een primitieve functie van de functie f. We schrijven:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

De functie f heet de integrand, het proces van het zoeken naar een primitieve functie heet integreren. De uitdrukking dx geeft aan naar welke variabele we integreren. Als we een voorbeeld zo opschrijven

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

willen we een primitieve functie van de functie 4x³ vinden, waarbij we integreren naar de variabele x. Het resultaat kan dus de functie x⁴ zijn, die na differentiëren precies gelijk is aan 4x³. Natuurlijk kunnen we bij deze functie een willekeurige reële constante optellen.

Je kunt bewijzen dat een primitieve functie ofwel niet bestaat, ofwel altijd van de vorm F(x) + c is, waarbij c een reële constante is — en dan zijn het er oneindig veel, want we hebben oneindig veel reële constanten. Als we dus een functie F(x) vinden, kunnen we alle primitieve functies genereren. Tegelijk geldt dat geen enkele andere functie, die we niet op deze manier zouden genereren, een primitieve functie is van de functie die we zoeken.

Nog een paar woorden over de uitdrukking dx. Het lijkt heel mysterieus, maar het geeft werkelijk alleen aan naar welke variabele we integreren. Als we bijvoorbeeld de integraal

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

hebben, betekent dat dat we integreren naar de variabele b en dat de andere letters a en c zich gedragen als constanten. Ze gedragen zich dus hetzelfde als wanneer er getallen stonden.

Integreren van elementaire functies

We kunnen gemakkelijk formules afleiden om primitieve functies van sommige elementaire functies te berekenen. In het hele hoofdstuk gaan we ervan uit dat c ∈ ℝ.

We beginnen met de functie f(x) = 0, de nulfunctie. Welke functie is na differentiëren gelijk aan nul? Elke functie die alleen een constante bevat:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Dan de functie f(x) = 1. Er geldt x′ = 1, dus de integraal van één is gelijk aan

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Daarna komt de functie f(x) = x. Welke functie moeten we differentiëren om als resultaat x te krijgen? Als we x² differentiëren, krijgen we 2x. Daarmee zijn we al bijna waar we wilden zijn. We hoeven alleen nog door twee te delen. Als we dus (x²)/2 differentiëren, krijgen we precies x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Als we dat generaliseren naar de functie xⁿ, waarbij n ∈ ℝ, krijgen we de formule:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Let op: deze formule geldt niet voor n = −1, want dan zouden we door nul delen en dat doe je niet, dat is niet mooi. Als we dus n = −1 hebben, krijgen we de functie f(x) = x⁻¹, dat is de functie 1/x. Welke functie moeten we differentiëren om 1/x te krijgen? Dat is de logaritme.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Het probleem is dat de logaritme alleen voor positieve reële getallen is gedefinieerd, dus deze formule geldt niet voor alle x uit D_f. Ze geldt wel voor het interval ⟨0, → ⟩. Voor het interval ⟨ ← , 0⟩ wisselen we alleen het teken van het argument van de logaritme om: ln(−x). Als we dat samenvoegen, kunnen we schrijven

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Deze formule geldt voor alle x ∈ D_f. Andere integralen, bijvoorbeeld voor goniometrische functies, vind je in de volgende tabel:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{voor }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Integraal van een som

Terwijl het berekenen van de afgeleide van een functie meestal vrij eenvoudig is en — zoals ze zeggen — zelfs een getrainde aap het kan, omdat je gewoonlijk rechtstreeks de formules volgt, ligt het bij integralen anders. De werkwijzen om integralen te berekenen zijn vrij ingewikkeld, waardoor het vinden van een integraal veel moeilijker is dan het berekenen van een afgeleide. Dat komt vooral doordat we weliswaar een voor de hand liggende formule voor de integraal van een som hebben, maar niet voor die van een product.

We proberen deze integraal te berekenen:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Hoe zouden we dat kunnen berekenen? We hebben een functie nodig die na differentiëren x geeft en dan nog een functie die 1 geeft. Uit de formules weten we al dat het de functies (x²)/2 en x zijn. Als we deze functies optellen, krijgen we f(x) = (x²)/2 + x. Na differentiëren van deze functie krijgen we x + 1. Daarmee hebben we het resultaat:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Tijdens het rekenen hebben we één eigenschap gebruikt — de integraal van een som is gelijk aan de som van de integralen. Oftewel

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Dat geldt ook voor aftrekken:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Daarom konden we het vorige voorbeeld zo uitschrijven:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Een constante buiten de integraal halen

Een vergelijkbare regel geldt ook voor het buiten de integraal halen van een constante. Als we een integraal van de vorm hebben:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

waarbij a een reële constante is, kunnen we deze constante buiten de integraal halen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Voorbeeld

Bereken de integraal:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

In de eerste stap splitsen we dit in drie integralen:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

De integralen lossen we een voor een op. De eerste integraal kunnen we rechtstreeks oplossen met de formule voor machten xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

In de tweede integraal halen we eerst de zes buiten de integraal:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

De integraal van x is weer een standaardintegraal, die is gelijk aan (x²)/2. We krijgen dus:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

In de laatste integraal halen we ook eerst 42 buiten de integraal:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

En dat is weer een standaardintegraal:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Deze deelintegralen tellen we op en we hebben het resultaat:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Nog één opmerking — we hebben in elke deelintegraal een constante c gekregen, dus bij het optellen zouden we in het resultaat +3c in plaats van +c moeten schrijven. Maar c is een willekeurige reële constante, dus 3c is weer gelijk aan een of ander reëel getal. We zouden c in de deelintegralen kunnen vervangen door c₁, c₂, c₃ en dan zeggen dat c = c₁ + c₂ + c₃.