Integral

Att integrera en funktion är den omvända processen till att derivera den.

Primitiv funktion

Vi börjar med en lätt uppgift. Låt funktionen vara f(x) = 2x. Vi söker en funktion F som är lika med f efter derivering. Formellt söker vi alltså en funktion F sådan att F′ = f.

Av de grundläggande deriveringsformlerna vet vi att det är funktionen F(x) = x². Derivatan av funktionen x² är just 2x. Frågan är om det är den enda funktion som uppfyller villkoret.

Svaret är nej — om vi adderar vilken reell konstant som helst till funktionen x² får vi efter derivering åter funktionen 2x, eftersom derivatan av en konstant är noll. Varje funktion av formen x² + C, där C är en reell konstant, kan räknas som den funktion F vi söker.

Vi kan generalisera uppgiften. Låt f vara en given reell funktion och vi söker en funktion F för vilken F′(x) = f(x) gäller för alla x i definitionsmängden D_f, eller i något intervall av den. En sådan funktion behöver inte vara entydigt bestämd, men å andra sidan behöver en sådan funktion inte heller existera alls.

Funktionen F kallar vi en primitiv funktion till funktionen f. Vi skriver:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Funktionen f kallas integrand och processen att hitta en primitiv funktion kallas integrering. Uttrycket dx anger med avseende på vilken variabel vi integrerar. Om vi skriver exemplet så här

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

vill vi hitta en primitiv funktion till funktionen 4x³, där vi integrerar med avseende på variabeln x. Resultatet kan vara funktionen x⁴, som efter derivering är just 4x³. Naturligtvis kan vi lägga till vilken reell konstant som helst till den funktionen.

Man kan bevisa att en primitiv funktion antingen inte existerar eller alltid har formen F(x) + C, där C är någon reell konstant — och då finns det oändligt många, eftersom det finns oändligt många reella konstanter. Om vi alltså hittar en funktion F(x) kan vi generera alla primitiva funktioner. Samtidigt gäller att ingen annan funktion, som vi inte genererar på det här sättet, är primitiv till den funktion vi söker.

Några ord till om uttrycket dx. Det verkar ganska mystiskt, men det anger bara med avseende på vilken variabel vi integrerar. Om vi till exempel har integralen

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

betyder det att vi integrerar med avseende på variabeln b och att de övriga bokstäverna a och c beter sig som konstanter. Alltså beter de sig precis som om det stod tal där.

Integrering av elementära funktioner

Vi kan enkelt härleda formler för primitiva funktioner till några elementära funktioner. Genom hela kapitlet antar vi att C ∈ ℝ.

Vi börjar med funktionen f(x) = 0, nollfunktionen. Vilken funktion är lika med noll efter derivering? Vilken funktion som helst som bara innehåller en konstant:

$$\int 0\text{ d}x=C$$

Därefter funktionen f(x) = 1. Det gäller att x′ = 1, så integralen av 1 blir

$$\int 1\text{ d}x=x+C$$

Nästa funktion är f(x) = x. Vilken funktion måste vi derivera för att få x som resultat? Om vi deriverar x² får vi 2x. Då är vi nästan framme. Vi behöver bara dividera med två. Om vi deriverar (x²)/2 får vi alltså just x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Om vi generaliserar det till funktionen xⁿ, där n ∈ ℝ, får vi formeln:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Observera att formeln inte gäller för n = −1, eftersom vi då skulle dela med noll, och det gör man inte, det är inte snyggt. Om n = −1 får vi alltså funktionen f(x) = x⁻¹, som är funktionen 1/x. Vilken funktion måste vi derivera för att få 1/x? Det är logaritmen.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+C$$

Problemet är att logaritmen bara är definierad för positiva reella tal, så den här formeln gäller inte för alla x i D_f. Den gäller dock för intervallet ]0, +∞[. För intervallet ]−∞, 0[ byter vi bara tecken på logaritmens argument: ln(−x). Om vi sätter ihop dem kan vi skriva

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+C$$

Den här formeln gäller för alla x ∈ D_f. Fler integraler, till exempel för trigonometriska funktioner, hittar du i följande tabell:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+C\text{för }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+C\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+C\end{array}$$

Integralen av en summa

Medan det oftast är ganska enkelt att beräkna derivatan av en funktion och — som man säger — till och med en tränad apa klarar det, eftersom man oftast går fram direkt enligt formlerna, är läget ett annat för integraler. Metoderna för att beräkna integraler är ganska mycket krångligare, och därför är det mycket svårare att hitta en integral än att beräkna en derivata. Det beror främst på att vi visserligen har en bra formel för integralen av en summa, men ingen för integralen av en produkt.

Vi försöker beräkna den här integralen:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Hur kan vi beräkna den? Vi behöver en funktion som ger x efter derivering och sedan en annan funktion som ger 1. Av formlerna vet vi redan att det är funktionerna (x²)/2 och x. Om vi adderar dem får vi f(x) = (x²)/2 + x. Efter derivering av den funktionen får vi x + 1. Då har vi resultatet:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+C$$

Under beräkningen använde vi en egenskap — integralen av en summa är lika med summan av integralerna. Alltså

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Det gäller också för subtraktion:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Därför kunde vi skriva om det föregående exemplet så här:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Flytta ut en konstant

En liknande sats gäller också för att flytta ut en konstant ur integralen. Om vi har en integral av formen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

där a är någon reell konstant, kan vi flytta ut konstanten ur integralen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Exempel

Beräkna integralen:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

I det första steget delar vi upp den i tre integraler:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Vi löser integralerna en i taget. Den första integralen kan vi lösa direkt med formeln för potenser xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+C$$

I den andra integralen flyttar vi först ut sexan:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Integralen av x är återigen ett tabellvärde, den är lika med (x²)/2. Vi får alltså:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+C$$

I den sista integralen flyttar vi också först ut 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Och det är återigen ett tabellvärde:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+C$$

Vi adderar de här delintegralerna och har resultatet:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+C$$

En anmärkning till — vi fick en konstant C i varje delintegral, så när vi adderar borde vi skriva +3C i stället för +C i resultatet. Men C är en godtycklig reell konstant, så 3C är återigen något reellt tal. Vi kunde byta ut C i delintegralerna mot C₁, C₂, C₃ och sedan säga att C = C₁ + C₂ + C₃.