Integraali

Funktion integrointi on derivoinnin käänteisprosessi.

Integraalifunktio

Aloitetaan helpolla tehtävällä. Olkoon f(x) = 2x. Etsitään nyt funktio F, joka on derivoituna yhtä suuri kuin funktio f. Muodollisesti kirjoitettuna etsitään funktio F, jolle pätee F′ = f.

Derivoinnin peruskaavoista tiedetään, että tällainen funktio on F(x) = x². Funktion x² derivaatta on juuri 2x. Kysymys kuuluu, onko tämä funktio ainoa, joka toteuttaa ehdon.

Vastaus on, että ei ole – jos funktioon x² lisätään mikä tahansa reaalinen vakio, saadaan derivoimalla jälleen funktio 2x, koska vakion derivaatta on nolla. Mikä tahansa muotoa x² + c oleva funktio, missä c on reaalinen vakio, kelpaa etsityksi funktioksi F.

Tehtävä voidaan yleistää. Olkoon annettu reaalinen funktio f, jonka määrittelyjoukkoa merkitään M, ja etsitään funktio F, jolle pätee F′(x) = f(x) kaikilla x ∈ M tai kaikilla x jollakin joukkoon M kuuluvalla välillä. Tämä funktio ei välttämättä ole yksikäsitteinen, ja toisaalta tällaista funktiota ei välttämättä ole olemassa lainkaan.

Tätä funktiota F kutsutaan funktion f integraalifunktioksi. Merkitään:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Funktiota f kutsutaan integroitavaksi funktioksi, ja integraalifunktion etsimistä sanotaan integroinniksi. Merkintä dx kertoo, minkä muuttujan suhteen integroidaan. Jos esimerkki kirjoitetaan näin

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

halutaan löytää funktion 4x³ integraalifunktio, ja integroidaan muuttujan x suhteen. Tulokseksi voi siis tulla funktio x⁴, joka on derivoituna juuri 4x³. Tähän funktioon voidaan tietysti lisätä mikä tahansa reaalinen vakio.

Voidaan todistaa, että integraalifunktiota ei joko ole olemassa, tai se on aina muotoa F(x) + c, missä c on jokin reaalinen vakio – ja silloin niitä on äärettömän monta, koska reaalisia vakioita on äärettömän monta. Kun siis löydetään yksi funktio F(x), voidaan muodostaa kaikki integraalifunktiot. Samalla pätee, että mikään muu funktio, jota ei saada tällä tavalla, ei ole etsityn funktion integraalifunktio.

Vielä pari sanaa merkinnästä dx. Se vaikuttaa hyvin mystiseltä, mutta se vain kertoo, minkä muuttujan suhteen integroidaan. Jos esimerkiksi on integraali

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

se tarkoittaa, että integroidaan muuttujan b suhteen ja muut kirjaimet a ja c käyttäytyvät vakioiden tavoin. Ne siis käyttäytyvät samoin kuin jos niiden paikalla olisi lukuja.

Alkeisfunktioiden integrointi

Joidenkin alkeisfunktioiden integraalifunktioiden kaavat on helppo johtaa. Koko luvun ajan oletetaan, että c ∈ ℝ.

Aloitetaan funktiosta f(x) = 0, nollafunktiosta. Mikä funktio on derivoituna nolla? Mikä tahansa funktio, jossa on vain vakio:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Seuraavaksi funktio f(x) = 1. Pätee x′ = 1, joten ykkösen integraali on

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Seuraavana vuorossa on funktio f(x) = x. Mikä funktio täytyy derivoida, jotta tulokseksi saadaan x? Jos derivoidaan x², saadaan 2x. Ollaan jo melkein siinä, mihin haluttiin päästä. Riittää jakaa kahdella. Kun siis derivoidaan (x²)/2, saadaan juuri x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Yleistetään tämä funktioon xⁿ, missä n ∈ ℝ, ja saadaan kaava:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Huomaa, että tämä kaava ei päde, kun n = −1, koska jaettaisiin nollalla, eikä niin tehdä – se ei ole kaunista. Kun siis n = −1, saadaan funktio f(x) = x⁻¹, joka on funktio 1/x. Mikä funktio täytyy derivoida, jotta saadaan 1/x? Se on logaritmi.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Ongelmana on, että logaritmi on määritelty vain positiivisille reaaliluvuille, joten tämä kaava ei päde kaikilla funktion määrittelyjoukon alkioilla x. Se pätee kuitenkin välillä ]0, ∞[. Välillä ]−∞, 0[ vain vaihdetaan logaritmin argumentin etumerkki: ln(−x). Kun nämä yhdistetään, voidaan kirjoittaa

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Tämä kaava pätee kaikilla funktion määrittelyjoukon alkioilla x. Muiden funktioiden, esimerkiksi trigonometristen funktioiden, integraaleja löytyy seuraavasta taulukosta:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{kun }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Summan integraali

Funktion derivaatan laskeminen on yleensä melko helppoa ja – kuten sanotaan – siitä selviää jopa koulutettu apina, koska yleensä edetään suoraan kaavojen mukaan. Integraaleissa tilanne on toinen. Integraalien laskemiseen tarvittavat menetelmät ovat melko monimutkaisia, minkä vuoksi integraalin löytäminen on paljon vaikeampaa kuin derivaatan laskeminen. Tämä johtuu etenkin siitä, että summan integraalille on kyllä odotusten mukainen kaava, mutta tulon integraalille ei.

Kokeillaan laskea tämä integraali:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Miten se voitaisiin laskea? Tarvitaan funktio, joka on derivoituna x, ja sitten toinen funktio, joka on derivoituna 1. Kaavoista tiedetään jo, että nämä funktiot ovat (x²)/2 ja x. Kun nämä funktiot lasketaan yhteen, saadaan f(x) = (x²)/2 + x. Tämän funktion derivaatta on x + 1. Näin saatiin tulos:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Laskun aikana käytettiin yhtä ominaisuutta – summan integraali on integraalien summa. Eli

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Sama pätee myös vähennyslaskulle:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Siksi edellinen esimerkki voitiin kirjoittaa auki näin:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Vakion siirtäminen integraalin eteen

Samanlainen lause pätee myös vakion siirtämiseen integraalin eteen. Jos integraali on muotoa:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

missä a on jokin reaalinen vakio, vakio voidaan siirtää integraalin eteen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Esimerkki

Laske integraali:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Ensimmäisessä vaiheessa jaetaan se kolmeksi integraaliksi:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Integraalit ratkaistaan yksi kerrallaan. Ensimmäinen integraali voidaan ratkaista suoraan potenssin xⁿ kaavalla:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Toisessa integraalissa siirretään ensin kuutonen integraalin eteen:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Funktion x integraali on jälleen perusintegraali, se on (x²)/2. Saadaan siis:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Myös viimeisessä integraalissa siirretään ensin 42 integraalin eteen:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Ja tämäkin on taas perusintegraali:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Nämä osaintegraalit lasketaan yhteen, ja tulos on valmis:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Vielä yksi huomautus – jokaisessa osaintegraalissa saatiin vakio c, joten yhteenlaskussa tulokseen pitäisi kirjoittaa +3c eikä +c. Mutta c on mikä tahansa reaalinen vakio, joten 3c on jälleen jokin reaaliluku. Osaintegraalien vakiot c voitaisiin korvata vakioilla c₁, c₂, c₃ ja sanoa sitten, että c = c₁ + c₂ + c₃.