Integral

Processen med at integrere en funktion er den modsatte af processen med at differentiere en funktion.

Stamfunktion

Vi starter med en let opgave. Lad os have funktionen f(x) = 2x. Lad os nu finde en funktion F, som efter differentiation bliver lig med funktionen f. Formelt skrevet leder vi efter en funktion F, så der gælder F′ = f.

Af de grundlæggende formler til beregning af differentialkvotienter ved vi, at det er funktionen F(x) = x². Differentialkvotienten af funktionen x² er netop lig med 2x. Spørgsmålet er, om denne funktion er den eneste, der opfylder betingelsen.

Svaret er, at det er den ikke — hvis vi lægger en hvilken som helst reel konstant til funktionen x², får vi efter differentiation igen funktionen 2x, fordi differentialkvotienten af en konstant er nul. Enhver funktion på formen x² + k, hvor k er en reel konstant, kan betragtes som den funktion F, vi leder efter.

Denne opgave kan vi generalisere. Lad os have givet en reel funktion f og finde en funktion F, for hvilken der gælder F′(x) = f(x) for alle x fra Dm(f), eventuelt fra et eller andet interval af definitionsmængden. Denne funktion behøver ikke være entydigt givet, men på den anden side behøver sådan en funktion heller ikke at findes overhovedet.

Denne funktion F kalder vi en stamfunktion til funktionen f. Vi skriver:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Funktionen f kaldes integrand, og processen med at finde en stamfunktion kaldes integration. Udtrykket dx angiver, efter hvilken variabel vi integrerer. Hvis vi skriver et eksempel på denne måde

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

vil vi finde en stamfunktion til funktionen 4x³, hvor vi integrerer efter variablen x. Resultatet kan således være funktionen x⁴, som efter differentiation netop er lig med 4x³. Selvfølgelig kan vi lægge en vilkårlig reel konstant til denne funktion.

Det kan bevises, at en stamfunktion enten ikke findes, eller altid har formen F(x) + k, hvor k er en eller anden reel konstant — og så er der uendeligt mange, fordi vi har uendeligt mange reelle konstanter. Hvis vi finder funktionen F(x), kan vi således generere alle stamfunktioner. Samtidig gælder det, at ingen anden funktion, som vi ikke ville generere på denne måde, er en stamfunktion til den funktion, vi leder efter.

Lidt endnu om udtrykket dx. Det virker meget mystisk, men det angiver virkelig bare, efter hvilken variabel vi integrerer. Hvis vi for eksempel har integralet

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

betyder det, at vi integrerer efter variablen b, og de øvrige bogstaver a og c opfører sig som konstanter. Dvs. de opfører sig på samme måde, som hvis der stod tal.

Integration af elementære funktioner

Vi kan nemt udlede formler til beregning af stamfunktioner til nogle elementære funktioner. Gennem hele afsnittet antager vi, at k ∈ ℝ.

Vi starter med funktionen f(x) = 0, nulfunktionen. Hvilken funktion bliver lig med nul efter differentiation? Enhver funktion, der kun indeholder en konstant:

$$\int 0\text{ d}x=k$$

Videre funktionen f(x) = 1. Der gælder x′ = 1, så integralet af én bliver lig med

$$\int 1\text{ d}x=x+k$$

Den næste i rækken er funktionen f(x) = x. Hvilken funktion skal vi differentiere for at få x som resultat? Hvis vi differentierer x², får vi 2x. Det er næsten dér, hvor vi ville hen. Vi skal bare dividere med to. Hvis vi altså differentierer (x²)/2, får vi netop x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+k$$

Hvis vi generaliserer det til funktionen xⁿ, hvor n ∈ ℝ, får vi formlen:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$$

Læg mærke til, at denne formel ikke gælder for n = −1, for så ville vi dividere med nul, og det må man ikke, det er ikke pænt. Så hvis vi har n = −1, får vi funktionen f(x) = x⁻¹, som er funktionen 1/x. Hvilken funktion skal vi differentiere for at få 1/x? Det er logaritmen.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+k$$

Problemet er, at logaritmen kun er defineret for positive reelle tal, så denne formel gælder ikke for alle x fra Dm(f). Den gælder dog for intervallet ]0; ∞[. For intervallet ]−∞; 0[ skifter vi bare fortegn på logaritmens argument: ln(−x). Når vi sætter det sammen, kan vi skrive

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+k$$

Denne formel gælder for alle x ∈ Dm(f). Andre integraler, for eksempel for trigonometriske funktioner, finder du i den følgende tabel:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+k\text{for }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+k\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+k\end{array}$$

Integral af en sum

Mens det at beregne differentialkvotienten af en funktion for det meste er forholdsvis enkelt og — som man siger — kan klares af selv en veltrænet abe, fordi man som regel går direkte frem efter formler, er situationen en anden ved integraler. Fremgangsmåderne til beregning af integraler er forholdsvis mere komplicerede, og opgaven at finde et integral er derfor meget sværere end at beregne en differentialkvotient. Det skyldes især, at vi godt nok har en forventelig formel for integral af en sum, men ikke for et produkt.

Vi prøver at beregne dette integral:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Hvordan kunne vi beregne det? Vi har brug for en funktion, som efter differentiation giver x, og så en anden funktion, som giver 1. Af formlerne ved vi allerede, at der er tale om funktionerne (x²)/2 og x. Hvis vi lægger disse funktioner sammen, får vi f(x) = (x²)/2 + x. Efter differentiation af denne funktion får vi x + 1. Dermed har vi fået resultatet:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+k$$

Under beregningen har vi brugt én egenskab — integralet af en sum er lig med summen af integralerne. Altså

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Det gælder samtidig også for subtraktion:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Derfor kunne vi skrive det forrige eksempel op på denne måde:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

At sætte en konstant uden for integralet

En lignende sætning gælder også for at sætte en konstant uden for integralet. Hvis vi har et integral på formen:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

hvor a er en eller anden reel konstant, kan vi sætte denne konstant uden for integralet:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Eksempel

Beregn integralet:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

I første trin deler vi det op i tre integraler:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Integralerne løser vi efter tur. Det første integral kan vi løse direkte efter formlen for potenser xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+k$$

I det andet integral sætter vi først seksen uden for:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Integralet af x er igen en standardværdi, det er lig med (x²)/2. Så vi får:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+k$$

I det sidste integral sætter vi også først 42 uden for:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Og det er igen en standardværdi:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+k$$

Disse delintegraler lægger vi sammen, og vi har resultatet:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+k$$

Endnu en bemærkning — vi fik i hvert delintegral en konstant k, så ved addition burde vi skrive +3k i stedet for +k i resultatet. Men k er en vilkårlig reel konstant, så 3k vil igen være lig med et eller andet reelt tal. Vi kunne udskifte k i delintegralerne med k₁, k₂, k₃ og så sige, at k = k₁ + k₂ + k₃.