Primitives et intégration

Intégrer une fonction, c’est faire le chemin inverse de la dérivation.

Primitive d’une fonction

Commençons par un problème facile. Soit la fonction f(x) = 2x. Cherchons une fonction F qui, une fois dérivée, redonne la fonction f. Écrit formellement, on cherche une fonction F telle que F′ = f.

D’après les formules de dérivation usuelles, nous savons que F(x) = x² convient. La dérivée de la fonction x² est bien 2x. Reste à savoir si c’est la seule fonction qui vérifie cette condition.

La réponse est non : si on ajoute à x² une constante réelle quelconque, on obtient de nouveau 2x après dérivation, car la dérivée d’une constante est nulle. Toute fonction de la forme x² + c, où c est une constante réelle, peut donc jouer le rôle de la fonction F cherchée.

Généralisons. Soit f une fonction réelle ; cherchons une fonction F telle que F′(x) = f(x) pour tout x de ${\mathcal{D}}_f$, ou d’un intervalle contenu dans l’ensemble de définition. Une telle fonction n’est pas forcément unique ; en revanche, il peut aussi arriver qu’elle n’existe pas du tout.

Cette fonction F s’appelle une primitive de la fonction f. On écrit :

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

La fonction f s’appelle la fonction à intégrer, et la recherche d’une primitive s’appelle l’intégration. L’expression dx indique par rapport à quelle variable on intègre. Si l’on écrit par exemple

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

on veut trouver une primitive de la fonction 4x³, en intégrant par rapport à la variable x. Le résultat peut être la fonction x⁴, dont la dérivée est exactement 4x³. Bien sûr, on peut ajouter à cette fonction n’importe quelle constante réelle.

On peut démontrer qu’une fonction n’a soit aucune primitive, soit des primitives toutes de la forme F(x) + c, où c est une constante réelle ; il y en a alors une infinité, puisqu’il y a une infinité de constantes réelles. Dès qu’on a trouvé une fonction F(x), on peut donc engendrer toutes les primitives. De plus, aucune autre fonction, qu’on n’obtiendrait pas de cette façon, n’est une primitive de la fonction cherchée.

Encore quelques mots sur l’expression dx. Elle a l’air très mystérieuse, mais elle indique simplement par rapport à quelle variable on intègre. Si l’on a par exemple l’intégrale

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

cela signifie qu’on intègre par rapport à la variable b et que les autres lettres a et c se comportent comme des constantes. Elles se comportent donc exactement comme si c’étaient des nombres.

Primitives des fonctions usuelles

On retrouve facilement les formules donnant les primitives de certaines fonctions usuelles. Dans tout le chapitre, supposons que c ∈ ℝ.

Commençons par la fonction f(x) = 0, la fonction nulle. Quelle fonction a pour dérivée zéro ? N’importe quelle fonction qui ne contient qu’une constante :

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Ensuite la fonction f(x) = 1. Comme x′ = 1, la primitive de la fonction constante égale à 1 est

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Vient ensuite la fonction f(x) = x. Quelle fonction faut-il dériver pour obtenir x ? Si l’on dérive x², on obtient 2x. On y est presque : il suffit de diviser par deux. Si l’on dérive (x²)/2, on obtient exactement x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

En généralisant à la fonction xⁿ, où n ∈ ℝ, on obtient la formule :

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Remarque que cette formule n’est pas valable pour n = −1, car on diviserait par zéro, et cela ne se fait pas. Pour n = −1, on a la fonction f(x) = x⁻¹, c’est-à-dire la fonction 1/x. Quelle fonction faut-il dériver pour obtenir 1/x ? C’est le logarithme.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Le problème, c’est que le logarithme n’est défini que pour les nombres réels strictement positifs, donc cette formule n’est pas valable pour tous les x de ${\mathcal{D}}_f$. Elle l’est toutefois sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Sur l’intervalle ]−∞ ; 0[, il suffit de changer le signe dans l’argument du logarithme : ln(−x). En réunissant les deux, on peut écrire

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Cette formule est valable pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$. Tu trouveras d’autres primitives, par exemple pour les fonctions trigonométriques, dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{pour }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Primitive d’une somme

Calculer la dérivée d’une fonction est le plus souvent assez simple : il suffit en général d’appliquer directement les formules, et même un singe savant y arriverait. Pour les primitives, la situation est différente. Les méthodes de calcul sont nettement plus compliquées, ce qui rend la recherche d’une primitive bien plus difficile que le calcul d’une dérivée. Cela tient surtout au fait qu’on dispose bien d’une formule pour la somme, mais pas pour le produit.

Essayons de calculer cette intégrale :

$$\int x+1\text{ d}x$$

Comment faire ? Il nous faut une fonction qui donne x après dérivation, puis une autre qui donne 1. Les formules nous disent qu’il s’agit des fonctions (x²)/2 et x. Si on additionne ces fonctions, on obtient f(x) = (x²)/2 + x. En dérivant cette fonction, on obtient x + 1. Voici donc le résultat :

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Dans ce calcul, nous avons utilisé une propriété : la primitive d’une somme est la somme des primitives. Autrement dit

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Cela vaut aussi pour la soustraction :

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Nous aurions donc pu décomposer l’exemple précédent ainsi :

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Facteur constant

Une propriété semblable permet de sortir une constante de l’intégrale. Si l’on a une intégrale de la forme :

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

où a est une constante réelle, on peut sortir cette constante de l’intégrale :

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Exemple

Calcule l’intégrale :

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Dans un premier temps, on la sépare en trois intégrales :

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Nous allons traiter les intégrales une par une. La première se résout directement avec la formule pour les puissances xⁿ :

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Dans la deuxième, on commence par sortir le 6 :

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

L’intégrale de x figure déjà dans le tableau, elle vaut (x²)/2. On obtient donc :

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Dans la dernière intégrale, on commence aussi par sortir 42 :

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Et là encore, c’est une valeur du tableau :

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

On additionne ces intégrales partielles et on obtient le résultat :

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Une dernière remarque : dans chaque intégrale partielle, nous avons obtenu une constante c, donc en additionnant nous devrions écrire +3c au lieu de +c. Mais c est une constante réelle quelconque, donc 3c est encore un nombre réel. Nous pourrions remplacer c dans les intégrales partielles par c₁, c₂, c₃, puis dire que c = c₁ + c₂ + c₃.