Funzioni goniometriche inverse

Perché le funzioni goniometriche fondamentali abbiano senso, bisogna definire anche le loro funzioni inverse. Si chiamano funzioni arco; più precisamente si tratta dell’arcoseno, dell’arcocoseno, dell’arcotangente e dell’arcocotangente, che si abbreviano anche arcsen, arccos, arctan e arccot.

Motivazione

Cominciamo con un esempio. Calcola l’ampiezza dell’angolo alfa:

Conosciamo le lunghezze di due lati del triangolo: il lato b = 3 e il lato a = 6. Dobbiamo calcolare l’angolo alfa. Il lato a è l’ipotenusa e il lato b è il cateto opposto all’angolo alfa. Il cateto opposto compare nella funzione seno: più precisamente, il seno dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell’ipotenusa. Proviamo quindi a sostituire nella formula:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Ora sappiamo che il seno dell’angolo alfa è uguale a un mezzo. Resta da capire come ricavare l’angolo da questo numero. Per farlo ci serve la funzione inversa del seno. La funzione seno prende in ingresso un angolo e ci restituisce il rapporto tra due lati. A noi invece serve una funzione in cui inseriamo il rapporto e ne esce l’angolo.

Questo è proprio il compito delle funzioni arco. Prima di definire con precisione che cosa sono, concludiamo l’esempio con l’aiuto di Google, che ci dice che l’arcoseno di un mezzo è 30 gradi. Se vuoi fare lo stesso calcolo con la calcolatrice, l’arcoseno è spesso indicato con sen⁻¹.

Una funzione inversa del seno?

Per prima cosa osserva il grafico della funzione seno:

Ripassiamo ora qualche proprietà delle funzioni. Una funzione f ammette la funzione inversa se è iniettiva. Che cosa significa? Che se prendiamo due elementi diversi x₁ e x₂ del dominio, le loro immagini f(x₁) e f(x₂) devono essere diverse. Questo deve valere per tutte le coppie possibili. Lo si legge facilmente dal grafico: se riusciamo a tracciare una retta parallela all’asse x che interseca il grafico della funzione f più di una volta, allora la funzione non è iniettiva.

È evidente che per la funzione seno una retta del genere esiste. Per esempio, l’asse x stesso interseca il grafico del seno più di una volta, anzi lo interseca infinite volte. La funzione seno quindi non è iniettiva e perciò non ha una funzione inversa.

Inversa della restrizione della funzione seno

Dal paragrafo precedente sappiamo che la funzione seno non ha una funzione inversa. Dal primo paragrafo, però, sappiamo che esiste una funzione arcoseno che si comporta esattamente come vogliamo. Come ci siamo riusciti? Della funzione seno abbiamo preso solo una parte iniettiva, e per questa restrizione possiamo definire la funzione inversa.

La restrizione della funzione seno si ottiene riducendo il suo dominio. Quale sottoinsieme del dominio originale (numeri reali) scegliere? Possiamo scegliere più sottoinsiemi, ma la scelta migliore è l’intervallo

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Questo intervallo è rappresentato nella figura seguente:

Su questo dominio possiamo già definire la funzione inversa, perché in questo intervallo la funzione seno è iniettiva. Il grafico della funzione inversa è il simmetrico di quello della funzione di partenza rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, quindi possiamo già disegnare il grafico della funzione inversa della nostra restrizione di sen(x). Osserva la figura:

In blu è disegnato il seno di partenza. In rosso è evidenziata la parte della funzione di cui cerchiamo l’inversa. In verde è rappresentata la funzione inversa, che indichiamo con arcsen o anche asin.

Dominio e insieme immagine dell’arcoseno

Con queste due funzioni possiamo illustrare bene lo scambio tra dominio e insieme immagine. Guarda la figura seguente: ci sono gli stessi grafici, negli stessi colori, solo un po’ ingranditi e con qualche linea e qualche punto in più:

Nota che il dominio della restrizione della funzione seno (linea rossa) era l’intervallo

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Per dominio intendiamo tutte le x per le quali la funzione è definita. Noi l’abbiamo definita proprio solo per questo intervallo, per ottenere una funzione iniettiva. Nel grafico cerchiamo queste x sull’asse x.

Guarda ora come si presenta l’insieme immagine della funzione arcoseno (linea verde). L’insieme immagine è formato da tutte le y che la funzione può restituire in uscita, quindi lo cerchiamo sull’asse y. La funzione arcoseno ha come insieme immagine di nuovo l’intervallo

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Questa è una proprietà generale della funzione inversa, quindi non dovrebbe sorprendere nessuno. Lo stesso vale per l’insieme immagine della restrizione del seno e per il dominio dell’arcoseno. L’insieme immagine della funzione seno è l’intervallo da meno uno a uno. Il seno può restituire solo questi valori: nessun angolo ha seno maggiore di uno o minore di meno uno. E poiché nessun angolo può avere seno maggiore di uno, è logico che anche la funzione inversa non possa prendere in ingresso un valore maggiore di uno. Perciò anche il dominio della funzione arcoseno è l’intervallo [−1; 1].

Arcocoseno

Ora, brevemente, la funzione inversa del coseno. Per lo stesso motivo del seno, anche qui non esiste una funzione inversa, perché la funzione non è iniettiva. Possiamo però scegliere un sottoinsieme del dominio e ottenere così una funzione iniettiva.

In blu è indicato il grafico della funzione coseno, mentre la parte rossa è la restrizione di questa funzione al dominio [0; π]. La linea verde rappresenta il grafico della funzione arccos(x), inversa della nostra restrizione della funzione coseno.

Arcotangente

Il grafico della funzione tangente ha il seguente aspetto:

Il grafico ha una forma diversa dalle funzioni precedenti, ma non è ancora iniettivo. Possiamo però di nuovo fare una restrizione di questa funzione e scegliere una parte che sia iniettiva. Scegliamo l’intervallo aperto

$$(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$$

La funzione inversa ha allora la forma seguente:

Arcocotangente

Tutto come nei paragrafi precedenti. Grafico della funzione cotangente: Il dominio della restrizione della funzione cotangente sarà l’intervallo aperto (0; π).