Arkuszfüggvények

Ahhoz, hogy az alapvető szögfüggvényeknek igazán értelme legyen, meg kell határoznunk az inverz függvényeiket is. Ezeket nevezzük arkuszfüggvényeknek, pontosabban arkusz szinusznak, arkusz koszinusznak, arkusz tangensnek és arkusz kotangensnek. Rövidebben arcsin, arccos, arctg és arcctg.

Motiváció

Kezdjük egy példával. Számítsd ki az alfa szög nagyságát:

Ismerjük a háromszög két oldalának hosszát: b = 3 és a = 6. Az alfa szöget kell kiszámítanunk – az a oldal az átfogó, a b oldal pedig az alfa szöggel szemközti befogó. A szemközti befogóval a szinuszfüggvény dolgozik: az alfa szög szinusza egyenlő a szemközti befogó és az átfogó hosszának arányával. Próbáljuk meg tehát behelyettesíteni a képletbe:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Most már tudjuk, hogy az alfa szög szinusza egy fél. A kérdés az, hogyan kapjuk meg ebből a számból a szöget. Ehhez a szinuszfüggvény inverz függvényére van szükségünk. A szinuszfüggvény bemenete egy szög, a kimenete pedig két oldal aránya. Nekünk most olyan függvény kell, amelybe az arányt írjuk be, és a szög jön ki belőle.

Pontosan ezt oldják meg az arkuszfüggvények. Mielőtt rendesen meghatároznánk, mik is az arkuszfüggvények, számítsuk ki a példát a Google segítségével, amely szerint az egy fél arkusz szinusza 30 fok. Ha ugyanezt számológéppel szeretnéd kiszámolni, ott az arkusz szinuszt gyakran sin⁻¹ jelöli.

A szinusz inverz függvénye?

Először nézd meg a szinuszfüggvény grafikonját:

Most ismételjünk át néhány függvénytulajdonságot. Az f függvénynek akkor van inverz függvénye, ha kölcsönösen egyértelmű. Mit jelent ez? Azt, hogy ha az értelmezési tartomány két különböző elemét, x₁-et és x₂-t vesszük, akkor a képeik, f(x₁) és f(x₂) különbözők kell hogy legyenek. Ennek minden lehetséges párra teljesülnie kell. A grafikonról ez könnyen leolvasható: ha találunk olyan, az x tengellyel párhuzamos egyenest, amely az f függvény grafikonját egynél többször metszi, akkor a függvény nem kölcsönösen egyértelmű.

A szinuszfüggvénynél nyilvánvalóan találunk ilyen egyenest. Például már maga az x tengely is egynél többször metszi a szinuszfüggvény grafikonját, pontosabban végtelen sokszor. A szinuszfüggvény ezért nem kölcsönösen egyértelmű, és így nincs inverz függvénye.

A szinuszfüggvény leszűkítésének inverz függvénye

Az előző részből tudjuk, hogy a szinuszfüggvénynek nincs inverz függvénye. Az első részből viszont tudjuk, hogy létezik egy arcsin nevű függvény, amely pontosan úgy viselkedik, ahogy szeretnénk. Hogyan értük ezt el? A szinuszfüggvényből csak egy olyan részt választottunk ki, amely kölcsönösen egyértelmű, így a függvény ehhez a leszűkítéséhez már meg tudjuk határozni az inverz függvényt.

A szinuszfüggvényt úgy szűkítjük le, hogy csökkentjük az értelmezési tartományát. Az eredeti értelmezési tartománynak (valós számok) melyik részhalmazát válasszuk? Több részhalmazt is választhatnánk, de a legjobb választás az

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

intervallum. Ezt az intervallumot mutatja a következő ábra:

Ezen az értelmezési tartományon már meg tudjuk határozni az inverz függvényt, mert ezen az intervallumon a szinuszfüggvény kölcsönösen egyértelmű. Az inverz függvény az eredeti függvény tükörképe az első és harmadik síknegyed szögfelezőjére, így már megrajzolhatjuk a sin(x) leszűkítésének inverz függvényét. Nézd meg az ábrát:

Kékkel az eredeti szinusz van megrajzolva. Pirossal van kiemelve az a rész, amelyhez az inverz függvényt keressük. Zölddel az inverz függvény látható, amelynek jele arcsin vagy csak asin.

Az arcsin értelmezési tartománya és értékkészlete

Ezen a két függvényen szépen szemléltethetjük az értelmezési tartomány és az értékkészlet felcserélődését. Nézd meg a következő ábrát: ugyanazok a grafikonok láthatók rajta ugyanazokkal a színekkel, csak egy kicsit nagyobban, néhány vonallal és ponttal kiegészítve:

Figyeld meg, hogy a szinuszfüggvény leszűkítésének (piros vonal) értelmezési tartománya az

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

intervallum volt. Az értelmezési tartomány az összes olyan x, amelyre a függvény értelmezve van. Mi éppen csak erre az intervallumra értelmeztük, hogy kölcsönösen egyértelmű függvényt kapjunk. A grafikonon ezeket az x értékeket az x tengelyen keressük.

Most nézd meg, milyen az arcsin függvény (zöld vonal) értékkészlete. Az értékkészlet az összes olyan y, amelyet a függvény kimenetként felvehet, ezért az y tengelyen keressük. Az arcsin függvény értékkészlete megint az

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

intervallum. Ez az inverz függvények általános tulajdonsága, tehát senkit sem szabad meglepnie. Hasonlóan igaz ez a szinuszfüggvény leszűkítésének értékkészletére és az arcsin értelmezési tartományára is. A szinuszfüggvény értékkészlete a mínusz egytől az egyig terjedő intervallum. A szinusz csak ezeket az értékeket veheti fel, egyetlen szög szinusza sem nagyobb egynél, és nem is kisebb mínusz egynél. Mivel egyetlen szög szinusza sem lehet egynél nagyobb, logikus, hogy az inverz függvény bemenete sem lehet egynél nagyobb. Ezért az arcsin függvény értelmezési tartománya is a [−1; 1] intervallum.

Arkusz koszinusz

Most már csak röviden a koszinusz inverz függvényéről. Ugyanabból az okból, mint a szinuszfüggvénynél, itt sincs inverz függvény, mert a függvény nem kölcsönösen egyértelmű. Kiválaszthatjuk azonban az értelmezési tartomány egy részhalmazát, és így kölcsönösen egyértelmű függvényt kapunk.

Kékkel a koszinuszfüggvény grafikonja van jelölve, a piros rész ennek a függvénynek a [0; π] értelmezési tartományra való leszűkítése. A zöld vonal az arccos(x) függvény grafikonja, vagyis a koszinuszfüggvény leszűkítésének inverz függvényéé.

Arkusz tangens

A tangensfüggvény grafikonja így néz ki:

A grafikon alakja más, mint az előző függvényeké, de ez sem kölcsönösen egyértelmű. Itt is megtehetjük, hogy leszűkítjük a függvényt, és olyan részt választunk ki, amely már kölcsönösen egyértelmű lesz. Válasszuk a nyílt

$$]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$$

intervallumot.

Az inverz függvény ekkor így néz ki:

Arkusz kotangens

Minden ugyanúgy, mint az előző részekben. A kotangensfüggvény grafikonja: A kotangensfüggvény leszűkítésének értelmezési tartománya a nyílt ]0; π[ intervallum.