Funcțiile trigonometrice inverse

Pentru ca funcțiile trigonometrice de bază să aibă sens deplin, trebuie definite și inversele lor. Acestea se numesc funcții arc, mai exact arcsinus, arccosinus, arctangentă și arccotangentă. Pe scurt: arcsin, arccos, arctg și arcctg.

Motivație

Să începem cu un exemplu. Calculează măsura unghiului alfa:

Cunoaștem lungimile a două laturi ale triunghiului, latura b = 3 și latura a = 6. Trebuie să calculăm unghiul alfa — latura a este ipotenuza, iar latura b este cateta opusă unghiului alfa. Cu cateta opusă lucrează funcția sinus, mai exact sinusul unghiului alfa este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei. Încercăm deci să înlocuim în formulă:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Acum știm că sinusul unghiului alfa este egal cu o doime. Întrebarea este cum obținem unghiul din cunoașterea acestui număr. Pentru asta avem nevoie de funcția inversă a funcției sinus. Funcția sinus primește la intrare un unghi și ne returnează raportul a două laturi. Noi însă avem acum nevoie de o funcție în care introducem raportul și iese unghiul.

Exact asta rezolvă funcțiile arc. Până să definim cum trebuie ce sunt funcțiile arc, încheiem exemplul cu calculatorul: $\arcsin \frac{1}{2}$ este 30 de grade. Pe calculatoare, arcsinusul este adesea notat sin⁻¹.

Funcția inversă a sinusului?

Mai întâi privește graficul funcției sinus:

Acum repetăm câteva proprietăți ale funcțiilor. Funcția f are funcție inversă dacă este injectivă. Ce înseamnă asta? Că dacă luăm două elemente diferite x₁ și x₂ din domeniul de definiție, atunci imaginile lor f(x₁) și f(x₂) trebuie să fie diferite. Acest lucru trebuie să fie valabil pentru toate perechile posibile. Se poate citi ușor din grafic — dacă putem duce o dreaptă paralelă cu axa Ox astfel încât să intersecteze graficul funcției f de mai multe ori, atunci funcția nu este injectivă.

Evident, la funcția sinus putem găsi o asemenea dreaptă. De exemplu, chiar axa Ox intersectează graficul funcției sinus de mai multe ori, mai exact o intersectează de o infinitate de ori. Funcția sinus nu este deci injectivă și de aceea nu există o funcție inversă pentru ea.

Inversa restricției funcției sinus

Din capitolul precedent știm că funcția sinus nu are funcție inversă. Din primul capitol știm însă că există o funcție arcsin, care se comportă exact cum ne dorim. Cum am ajuns la ea? Am ales din funcția sinus doar o parte care este injectivă și astfel putem defini o funcție inversă pentru această restricție a funcției.

Restricția funcției sinus o obținem micșorându-i domeniul de definiție. Ce submulțime a domeniului inițial (numerele reale) alegem? Putem alege mai multe submulțimi, dar cea mai bună alegere este intervalul

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Acest interval este reprezentat în figura următoare:

Pe acest domeniu de definiție putem deja defini funcția inversă, deoarece pe acest interval funcția sinus este injectivă. Funcția inversă este simetrică cu funcția inițială față de bisectoarea cadranelor I și III, deci putem deja desena graficul funcției inverse restricției funcției sin(x). Privește figura:

Cu albastru este desenat sinusul inițial. Cu roșu este evidențiată partea din funcție pentru care căutăm funcția inversă. Cu verde este reprezentată funcția inversă, pe care o notăm arcsin.

Domeniul de definiție și imaginea funcției arcsin

Pe aceste două funcții putem ilustra frumos cum domeniul de definiție și imaginea își schimbă rolurile. Privește figura următoare, sunt aceleași grafice, în aceleași culori, doar puțin mărite și cu adăugarea unor linii și puncte:

Observă că domeniul de definiție al restricției funcției sinus (linia roșie) a fost intervalul

$$D_f=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Prin domeniul de definiție înțelegem toate valorile x pentru care funcția este definită. Noi am definit-o tocmai doar pe acest interval, ca să obținem o funcție injectivă. Pe grafic căutăm aceste valori x pe axa Ox.

Acum privește cum arată imaginea funcției arcsin (linia verde). Imaginea funcției este formată din toate valorile y pe care funcția le poate returna la ieșire, deci le căutăm pe axa Oy. Funcția arcsin are imaginea tot intervalul

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

aceasta este o proprietate generală a funcției inverse, deci nu ar trebui să surprindă pe nimeni. La fel este și pentru imaginea restricției funcției sinus și pentru domeniul de definiție al funcției arcsin. Imaginea funcției sinus este intervalul de la minus unu la unu. Sinusul poate returna doar aceste valori, sinusul niciunui unghi nu este mai mare decât unu sau mai mic decât minus unu. Și deoarece sinusul niciunui unghi nu poate fi mai mare decât unu, este logic că nici funcția inversă nu poate primi la intrare o valoare mai mare decât unu. De aceea domeniul de definiție al funcției arcsin este tot intervalul [−1, 1].

Arccosinus

Acum, pe scurt, despre funcția inversă a cosinusului. Din același motiv ca la funcția sinus, nici aici nu există funcție inversă, deoarece funcția nu este injectivă. Totuși, putem alege o submulțime a domeniului de definiție și astfel obținem o funcție injectivă.

Cu albastru este marcat graficul funcției cosinus, partea roșie este restricția acestei funcții la domeniul de definiție [0, π]. Linia verde reprezintă graficul funcției arccos(x), inversa restricției funcției cosinus.

Arctangenta

Graficul funcției tangentă arată astfel:

Graficul are altă formă decât funcțiile precedente, dar tot nu este injectiv. Putem însă face din nou o restricție a acestei funcții și alege o parte care va fi injectivă. Alegem intervalul deschis

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

Funcția inversă are atunci următoarea formă:

Arccotangenta

Totul este la fel ca în paragrafele precedente. Graficul funcției cotangentă: Domeniul de definiție al restricției funcției cotangentă va fi intervalul deschis (0, π).