Arkusfunktiot

Jotta trigonometrisilla perusfunktioilla olisi merkitystä, täytyy määritellä myös niiden käänteisfunktiot. Niitä sanotaan arkusfunktioiksi, tarkemmin arkussiniksi, arkuskosiniksi, arkustangentiksi ja arkuskotangentiksi. Lyhyesti niitä merkitään arcsin, arccos, arctan ja arccot.

Motivaatio

Aloitetaan esimerkistä. Laske kulman alfa suuruus:

Tunnetaan kolmion kahden sivun pituudet: sivu b = 3 ja sivu a = 6. Tehtävänä on laskea kulma alfa. Sivu a on hypotenuusa ja sivu b on kulman alfa vastainen kateetti. Vastaista kateettia käyttää sinifunktio, tarkemmin sanottuna kulman alfa sini on yhtä suuri kuin vastaisen kateetin pituuden ja hypotenuusan pituuden suhde. Kokeillaan siis sijoittaa kaavaan:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Nyt tiedetään, että kulman alfa sinin arvo on 1/2. Kysymys kuuluu, miten tämän luvun avulla saadaan selville kulma. Siihen tarvitaan sinifunktion käänteisfunktio. Sinifunktio ottaa sisään kulman ja palauttaa kahden sivun suhteen. Nyt tarvitaan kuitenkin funktio, johon sijoitetaan suhde ja josta saadaan ulos kulma.

Juuri tämän ratkaisevat arkusfunktiot. Ennen kuin määritellään kunnolla, mitä arkusfunktiot oikeastaan ovat, lasketaan esimerkki loppuun Googlen avulla: arkussini luvusta 1/2 on 30 astetta. Jos saman esimerkin haluaa laskea laskimella, siinä arkussinille käytetään usein merkintää sin⁻¹.

Sinin käänteisfunktio?

Katso ensin sinifunktion kuvaajaa:

Kerrataan nyt joitakin funktioiden ominaisuuksia. Funktiolla f on käänteisfunktio, jos se on injektiivinen. Mitä se tarkoittaa? Jos otetaan kaksi eri alkiota x₁ ja x₂ määrittelyjoukosta, niiden kuvien f(x₁) ja f(x₂) täytyy olla erisuuret. Tämän täytyy päteä kaikille mahdollisille pareille. Se nähdään helposti kuvaajasta: jos kuvaajan läpi voidaan piirtää x-akselin suuntainen suora niin, että suora leikkaa funktion f kuvaajan useammin kuin kerran, funktio ei ole injektiivinen.

On selvää, että sinifunktiolle tällainen suora löytyy. Esimerkiksi x-akseli itse leikkaa sinifunktion kuvaajan useammin kuin kerran, tarkemmin sanottuna äärettömän monta kertaa. Sinifunktio ei siis ole injektiivinen, joten sillä ei ole käänteisfunktiota.

Sinifunktion rajoittuman käänteisfunktio

Edellisessä luvussa nähtiin, ettei sinifunktiolla ole käänteisfunktiota. Ensimmäisessä luvussa kuitenkin nähtiin, että on olemassa funktio arcsin, joka toimii juuri niin kuin halutaan. Miten se saatiin aikaan? Sinifunktiosta valittiin vain sellainen osa, joka on injektiivinen, ja tälle funktion rajoittumalle voidaan määritellä käänteisfunktio.

Sinifunktion rajoittuma saadaan pienentämällä sen määrittelyjoukkoa. Minkä osajoukon alkuperäisestä määrittelyjoukosta (reaaliluvuista) valitaan? Voitaisiin valita useita osajoukkoja, mutta paras valinta on väli

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Tämä väli on esitetty seuraavassa kuvassa:

Tällä määrittelyjoukolla voidaan jo määritellä käänteisfunktio, koska sinifunktio on tällä välillä injektio. Käänteisfunktion kuvaaja on peilikuva alkuperäisen funktion kuvaajasta suoran y = x suhteen, joten voidaan jo piirtää kuvaaja funktiolle, joka on käänteisfunktio funktion sin(x) rajoittumalle. Katso kuvaa:

Sinisellä on piirretty alkuperäinen sini. Punaisella on korostettu funktion osa, jolle etsitään käänteisfunktiota. Vihreällä on esitetty käänteisfunktio, jota merkitään arcsin tai pelkästään asin.

Funktion arcsin määrittelyjoukko ja arvojoukko

Näiden kahden funktion avulla voidaan hyvin havainnollistaa, miten määrittelyjoukko ja arvojoukko vaihtavat paikkaa. Katso seuraavaa kuvaa. Siinä on samat kuvaajat samoilla väreillä, mutta hieman suurennettuina ja mukana on joitakin viivoja ja pisteitä:

Huomaa, että sinifunktion rajoittuman määrittelyjoukko (punainen viiva) oli väli

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Määrittelyjoukolla tarkoitetaan kaikkia lukuja x, joille funktio on määritelty. Se määriteltiin juuri vain tällä välillä, jotta saatiin injektiivinen funktio. Kuvaajasta nämä x etsitään x-akselilta.

Katso nyt, millainen on funktion arcsin arvojoukko (vihreä viiva). Arvojoukko on kaikkien niiden arvojen y joukko, jotka funktio voi palauttaa, eli ne etsitään y-akselilta. Funktion arcsin arvojoukko on jälleen väli

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Tämä on käänteisfunktioiden yleinen ominaisuus, joten sen ei pitäisi yllättää ketään. Samalla tavalla pätee sinifunktion rajoittuman arvojoukolle ja funktion arcsin määrittelyjoukolle. Sinifunktion arvojoukko on väli miinus yhdestä yhteen. Sini voi palauttaa vain nämä arvot: minkään kulman sini ei ole suurempi kuin yksi eikä pienempi kuin miinus yksi. Koska minkään kulman sini ei voi olla suurempi kuin yksi, on loogista, ettei käänteisfunktiokaan voi ottaa sisään yhtä suurempaa arvoa. Siksi myös funktion arcsin määrittelyjoukko on väli [−1, 1].

Arkussinin arvon voi laskea täällä olevalla laskimella.

Arkuskosini

Tarkastellaan nyt lyhyesti kosinin käänteisfunktiota. Samasta syystä kuin sinifunktiolla myöskään kosinille ei ole käänteisfunktiota, koska funktio ei ole injektiivinen. Voidaan kuitenkin valita määrittelyjoukon osajoukko ja saada näin injektiivinen funktio.

Sinisellä on merkitty kosinifunktion kuvaaja ja punainen osa on tämän funktion rajoittuma määrittelyjoukkoon [0, π]. Vihreä viiva esittää funktion arccos(x) kuvaajaa, joka on käänteisfunktio tälle kosinifunktion rajoittumalle.

Arkustangentti

Tangenttifunktion kuvaaja näyttää tältä:

Kuvaajan muoto on erilainen kuin edellisillä funktioilla, mutta se ei silti ole injektiivinen. Tämäkin funktio voidaan rajoittaa ja valita sellainen osa, joka on injektiivinen. Valitaan avoin väli

$$]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$$

Käänteisfunktio näyttää tällöin tältä:

Arkuskotangentti

Kaikki on samoin kuin edellisissä kappaleissa. Kotangenttifunktion kuvaaja: Kotangenttifunktion rajoittuman määrittelyjoukko on avoin väli ]0, π[.