Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Για να έχουν νόημα οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πρέπει να ορίσουμε και τις αντίστροφές τους. Αυτές ονομάζονται αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, και συγκεκριμένα πρόκειται για το τόξο ημιτόνου, το τόξο συνημιτόνου, το τόξο εφαπτομένης και το τόξο συνεφαπτομένης. Με συντομία γράφουμε arcsin, arccos, arctan και arccot.

Κίνητρο

Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα. Υπολόγισε το μέτρο της γωνίας άλφα:

Γνωρίζουμε τα μήκη δύο πλευρών του τριγώνου: την πλευρά b = 3 και την πλευρά a = 6. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνία άλφα – η πλευρά a είναι η υποτείνουσα και η πλευρά b είναι η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας άλφα. Με την απέναντι κάθετη πλευρά δουλεύει η συνάρτηση ημίτονο: το ημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Αντικαθιστούμε λοιπόν στον τύπο:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Τώρα ξέρουμε ότι το ημίτονο της γωνίας άλφα είναι ίσο με το ένα δεύτερο. Το ερώτημα είναι πώς από αυτόν τον αριθμό θα βρούμε τη γωνία. Γι' αυτό χρειαζόμαστε την αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου. Η συνάρτηση ημίτονο παίρνει ως είσοδο μια γωνία και μας επιστρέφει το λόγο δύο πλευρών. Εμείς όμως χρειαζόμαστε τώρα μια συνάρτηση στην οποία βάζουμε το λόγο και παίρνουμε τη γωνία.

Ακριβώς αυτό κάνουν οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Πριν ορίσουμε με ακρίβεια τι είναι, ολοκληρώνουμε το παράδειγμα με τη βοήθεια του Google, που μας λέει ότι το arcsin του ενός δευτέρου είναι 30 μοίρες. Αν θέλεις να υπολογίσεις το ίδιο παράδειγμα με υπολογιστή τσέπης, εκεί το τόξο ημιτόνου συχνά σημειώνεται ως sin⁻¹.

Αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου;

Κοίταξε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο:

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες των συναρτήσεων. Μια συνάρτηση f έχει αντίστροφη, αν είναι 1-1. Τι σημαίνει αυτό; Ότι αν πάρουμε δύο διαφορετικά στοιχεία x₁ και x₂ του πεδίου ορισμού, τότε οι εικόνες τους f(x₁) και f(x₂) πρέπει να είναι διαφορετικές. Αυτό πρέπει να ισχύει για όλα τα δυνατά ζεύγη. Φαίνεται εύκολα από τη γραφική παράσταση – αν μπορούμε να φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x, που να τέμνει τη γραφική παράσταση της f περισσότερες από μία φορές, τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1.

Είναι προφανές ότι για το ημίτονο μπορούμε να βρούμε τέτοια ευθεία. Για παράδειγμα, ο ίδιος ο άξονας x'x τέμνει τη γραφική παράσταση του ημιτόνου περισσότερες από μία φορές, και συγκεκριμένα άπειρες φορές. Η συνάρτηση ημίτονο λοιπόν δεν είναι 1-1 και γι' αυτό δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Αντίστροφη συνάρτηση του περιορισμού του ημιτόνου

Από το προηγούμενο κεφάλαιο ξέρουμε ότι η συνάρτηση ημίτονο δεν έχει αντίστροφη. Από το πρώτο κεφάλαιο όμως ξέρουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση arcsin που συμπεριφέρεται ακριβώς όπως θέλουμε. Πώς το πετύχαμε; Διαλέξαμε από τη συνάρτηση ημίτονο μόνο ένα μέρος που είναι 1-1, και έτσι μπορούμε να ορίσουμε αντίστροφη συνάρτηση για αυτόν τον περιορισμό της συνάρτησης.

Τον περιορισμό του ημιτόνου τον πετυχαίνουμε μικραίνοντας το πεδίο ορισμού του. Ποιο υποσύνολο του αρχικού πεδίου ορισμού (πραγματικοί αριθμοί) να διαλέξουμε; Μπορούμε να διαλέξουμε περισσότερα υποσύνολα, αλλά η καλύτερη επιλογή είναι το διάστημα

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Το διάστημα αυτό φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Σε αυτό το πεδίο ορισμού μπορούμε πλέον να ορίσουμε αντίστροφη συνάρτηση, γιατί στο διάστημα αυτό η συνάρτηση ημίτονο είναι 1-1. Η αντίστροφη συνάρτηση είναι συμμετρική της αρχικής ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων, οπότε μπορούμε ήδη να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που είναι αντίστροφη του περιορισμού της ημ x. Δες το σχήμα:

Με μπλε είναι σχεδιασμένο το αρχικό ημίτονο. Με κόκκινο είναι τονισμένο το μέρος της συνάρτησης για το οποίο ψάχνουμε αντίστροφη. Με πράσινο εμφανίζεται η αντίστροφη συνάρτηση, που τη συμβολίζουμε arcsin ή απλώς asin.

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών της arcsin

Σε αυτές τις δύο συναρτήσεις μπορούμε να δούμε ωραία την εναλλαγή του πεδίου ορισμού και του συνόλου τιμών. Κοίταξε το επόμενο σχήμα – είναι οι ίδιες γραφικές παραστάσεις, με τα ίδια χρώματα, απλώς λίγο μεγεθυσμένες και με μερικές γραμμές και σημεία παραπάνω:

Πρόσεξε ότι το πεδίο ορισμού του περιορισμού της συνάρτησης ημίτονο (κόκκινη γραμμή) ήταν το διάστημα

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Ως πεδίο ορισμού εννοούμε όλα τα x για τα οποία η συνάρτηση ορίζεται. Εμείς την ορίσαμε μόνο σε αυτό το διάστημα, για να πάρουμε 1-1 συνάρτηση. Στη γραφική παράσταση ψάχνουμε αυτά τα x στον άξονα x'x.

Τώρα δες πώς φαίνεται το σύνολο τιμών της συνάρτησης arcsin (πράσινη γραμμή). Σύνολο τιμών είναι όλα τα y που μπορεί να μας επιστρέψει η συνάρτηση, άρα τα ψάχνουμε στον άξονα y'y. Η συνάρτηση arcsin έχει πάλι ως σύνολο τιμών το διάστημα

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Αυτή είναι γενική ιδιότητα της αντίστροφης συνάρτησης, οπότε δεν πρέπει να εκπλήσσει κανέναν. Αντίστοιχα ισχύει για το σύνολο τιμών του περιορισμού του ημιτόνου και για το πεδίο ορισμού της arcsin. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης ημίτονο είναι το διάστημα από το μείον ένα ως το ένα. Το ημίτονο μπορεί να επιστρέψει μόνο αυτές τις τιμές – το ημίτονο καμίας γωνίας δεν είναι μεγαλύτερο από ένα ή μικρότερο από μείον ένα. Και επειδή το ημίτονο καμίας γωνίας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα, είναι λογικό ότι ούτε η αντίστροφη συνάρτηση μπορεί να δεχτεί ως είσοδο τιμή μεγαλύτερη από ένα. Γι' αυτό το πεδίο ορισμού της συνάρτησης arcsin είναι το διάστημα [−1, 1].

Τόξο συνημιτόνου

Ας δούμε τώρα με συντομία την αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου. Για τον ίδιο λόγο όπως στο ημίτονο, δεν υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση, επειδή η συνάρτηση δεν είναι 1-1. Μπορούμε όμως να διαλέξουμε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού και να πάρουμε έτσι 1-1 συνάρτηση.

Με μπλε σημειώνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημίτονο, το κόκκινο μέρος είναι ο περιορισμός της στο πεδίο ορισμού [0, π]. Η πράσινη γραμμή παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης arccos x, της αντίστροφης του περιορισμού της συνάρτησης συνημίτονο.

Τόξο εφαπτομένης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένη είναι η εξής:

Η γραφική παράσταση έχει διαφορετικό σχήμα από τις προηγούμενες συναρτήσεις, αλλά και πάλι δεν είναι 1-1. Μπορούμε όμως να κάνουμε ξανά περιορισμό της συνάρτησης και να διαλέξουμε ένα μέρος που θα είναι 1-1. Διαλέγουμε το ανοικτό διάστημα

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

Η αντίστροφη συνάρτηση έχει τότε την ακόλουθη μορφή:

Τόξο συνεφαπτομένης

Όλα είναι ίδια όπως στις προηγούμενες παραγράφους. Γραφική παράσταση της συνάρτησης συνεφαπτομένη: Το πεδίο ορισμού του περιορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη θα είναι το ανοικτό διάστημα (0, π).