Arcusfunktioner

För att de grundläggande trigonometriska funktionerna ska vara till nytta behöver vi också definiera deras inversa funktioner. De kallas arcusfunktioner, närmare bestämt arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens och arcus cotangens. Förkortat också arcsin, arccos, arctan och arccot.

Motivering

Vi börjar med ett exempel. Beräkna vinkeln alfa:

Vi känner till längderna av två sidor i triangeln, sidan b = 3 och sidan a = 6. Vi ska beräkna vinkeln alfa — sidan a är hypotenusan och sidan b är den motstående kateten till vinkeln alfa. Med den motstående kateten arbetar funktionen sinus, närmare bestämt är sinus för vinkeln alfa lika med kvoten mellan längden av den motstående kateten och längden av hypotenusan. Vi försöker alltså sätta in i formeln:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Nu vet vi att sinus för vinkeln alfa är lika med en halv. Frågan är hur vi utifrån det talet får fram vinkeln. För det behöver vi den inversa funktionen till funktionen sinus. Funktionen sinus tar en vinkel som indata och ger oss förhållandet mellan två sidor. Men nu behöver vi en funktion där vi stoppar in förhållandet och får ut vinkeln.

Det är precis det arcusfunktionerna gör. Innan vi definierar ordentligt vad arcusfunktionerna är räknar vi klart exemplet med hjälp av Google, som berättar att arcsin av en halv är 30 grader. Om du vill räkna samma exempel på miniräknaren brukar arcus sinus där vara betecknad sin⁻¹.

Invers funktion till sinus?

Titta först på grafen till funktionen sinus:

Nu repeterar vi några egenskaper hos funktioner. En funktion f har en invers funktion om den är injektiv. Vad betyder det? Att om vi tar två olika element x₁ och x₂ ur definitionsmängden måste deras bilder f(x₁) och f(x₂) vara olika. Det måste gälla för alla möjliga par. Det går lätt att utläsa ur grafen — om vi kan lägga en linje parallell med x-axeln så att den skär grafen till f mer än en gång, så är funktionen inte injektiv.

Uppenbarligen kan vi hitta en sådan linje för funktionen sinus. Redan själva x-axeln skär grafen till sinus fler än en gång, närmare bestämt oändligt många gånger. Funktionen sinus är därför inte injektiv, och därför finns ingen invers funktion till den.

Invers funktion till en restriktion av sinus

Vi vet från förra avsnittet att det inte finns någon invers funktion till funktionen sinus. Men från det första avsnittet vet vi att det finns en funktion arcsin som beter sig precis som vi vill. Hur gjorde vi det? Vi valde ut bara den del av funktionen sinus som är injektiv, och då kan vi definiera en invers funktion till den här restriktionen av funktionen.

Vi begränsar funktionen sinus genom att minska dess definitionsmängd. Vilken delmängd av den ursprungliga definitionsmängden (de reella talen) ska vi välja? Vi kan välja flera delmängder, men det bästa valet är intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Intervallet visas på nästa bild:

På den här definitionsmängden kan vi redan definiera en invers funktion, eftersom funktionen sinus är injektiv på intervallet. Den inversa funktionen är symmetrisk med den ursprungliga funktionen kring linjen y = x (första kvadrantens bisektris), så nu kan vi rita grafen till den funktion som är invers till vår restriktion av funktionen sin(x). Titta på bilden:

Med blått är den ursprungliga sinuskurvan ritad. Med rött är den del av funktionen markerad som vi söker den inversa funktionen till. Med grönt visas den inversa funktionen, som vi betecknar arcsin eller bara asin.

Definitionsmängd och värdemängd för arcsin

På de här två funktionerna kan vi fint illustrera hur definitionsmängd och värdemängd byter plats. Titta på nästa bild, där finns samma grafer i samma färger, bara lite förstorade och med några extra linjer och punkter:

Lägg märke till att definitionsmängden för restriktionen av sinus (den röda linjen) var intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Med definitionsmängd menar vi alla x för vilka funktionen är definierad. Vi definierade den bara för det här intervallet för att få en injektiv funktion. På grafen söker vi de här x på x-axeln.

Titta nu på hur värdemängden för funktionen arcsin (den gröna linjen) ser ut. Värdemängden är alla y som funktionen kan ge som utdata, så vi söker dem på y-axeln. Funktionen arcsin har återigen intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

som värdemängd. Det är en allmän egenskap hos inversa funktioner, så det borde inte överraska någon. På motsvarande sätt gäller det för värdemängden för restriktionen av sinus och för definitionsmängden för arcsin. Värdemängden för funktionen sinus är intervallet från minus ett till ett. Sinus kan bara ge de här värdena, sinus för en vinkel är aldrig större än ett eller mindre än minus ett. Och eftersom sinus för en vinkel inte kan vara större än ett är det logiskt att den inversa funktionen inte heller kan ta emot ett värde som är större än ett. Därför är definitionsmängden för funktionen arcsin också intervallet [−1, 1].

Värdet av arcus sinus kan du räkna ut med vår kalkylator.

Arcus cosinus

Nu kort om den inversa funktionen till cosinus. Av samma skäl som för funktionen sinus finns ingen invers funktion här, eftersom funktionen inte är injektiv. Men vi kan välja en delmängd av definitionsmängden och på så sätt få en injektiv funktion.

Med blått är grafen till funktionen cosinus markerad, och den röda delen är restriktionen av den funktionen till definitionsmängden [0, π]. Den gröna linjen är grafen till funktionen arccos(x), den inversa funktionen till vår restriktion av funktionen cosinus.

Arcus tangens

Grafen till funktionen tangens ser ut så här:

Grafen har en annan form än de tidigare funktionerna, men den är fortfarande inte injektiv. Vi kan återigen göra en restriktion av funktionen och välja en del som är injektiv. Vi väljer det öppna intervallet

$$]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$$

Den inversa funktionen ser då ut så här:

Arcus cotangens

Allt är likadant som i de föregående styckena. Grafen till funktionen cotangens: Definitionsmängden för restriktionen av funktionen cotangens blir det öppna intervallet ]0, π[.