Funções trigonométricas inversas

Para que as funções trigonométricas básicas façam sentido, é preciso definir também as suas funções inversas. Elas se chamam funções arco; mais precisamente, trata-se do arco seno, do arco cosseno, do arco tangente e do arco cotangente. De forma abreviada, também arcsen, arccos, arctg e arccotg.

Motivação

Comecemos por um exemplo. Calcule a medida do ângulo alfa:

Conhecemos os comprimentos de dois lados do triângulo, o lado b = 3 e o lado a = 6. Devemos calcular o ângulo alfa — o lado a é a hipotenusa e o lado b é o cateto oposto ao ângulo alfa. A função seno trabalha com o cateto oposto; mais precisamente, o seno do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa. Então tentamos substituir na fórmula:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Agora sabemos que o seno do ângulo alfa é igual a um meio. A questão é como, conhecendo esse número, obter o ângulo. Para isso precisamos da função inversa da função seno. A função seno recebe na entrada um ângulo e nos devolve a razão entre dois lados. Só que agora precisamos de uma função na qual colocamos a razão e sai o ângulo.

É exatamente isso que as funções arco resolvem. Antes de definirmos direito o que são as funções arco, vamos terminar de calcular o exemplo: o arcsen de um meio é 30 graus. Se você quiser calcular o mesmo exemplo em uma calculadora, ali o arco seno costuma ser indicado por sen⁻¹.

Função inversa do seno?

Primeiro observe o gráfico da função seno:

Agora vamos rever algumas propriedades das funções. A função f tem função inversa se é injetora. O que isso significa? Que, se tomamos dois elementos diferentes x₁ e x₂ do domínio, então precisa valer que as suas imagens f(x₁) e f(x₂) são diferentes. Isso precisa valer para todos os pares possíveis. Isso se lê facilmente no gráfico — se conseguimos traçar sobre o gráfico uma reta paralela ao eixo x de modo que ela corte o gráfico da função f mais de uma vez, então essa função não é injetora.

Evidentemente, para a função seno conseguimos encontrar tal reta. Por exemplo, o próprio eixo x corta o gráfico da função seno mais de uma vez; mais precisamente, corta-o infinitas vezes. A função seno, portanto, não é injetora e, por isso, não existe uma função inversa dela.

Função inversa da restrição da função seno

No capítulo anterior vimos que não existe função inversa da função seno. No primeiro capítulo, porém, vimos que existe uma função arcsen que se comporta exatamente como queremos. Como chegamos a isso? Escolhemos da função seno apenas uma parte que é injetora e, assim, podemos definir uma função inversa dessa restrição da função.

Obtemos a restrição da função seno reduzindo o seu domínio. Que subconjunto do domínio original (números reais) escolher? Podemos escolher vários subconjuntos, mas a melhor escolha é o intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Esse intervalo está mostrado na figura seguinte:

Nesse domínio já conseguimos definir a função inversa, porque nesse intervalo a função seno é injetora. A função inversa é simétrica à função original em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, então já podemos traçar o gráfico da função que será inversa da nossa restrição da função sen(x). Observe a figura:

Em azul está traçado o seno original. Em vermelho está destacada a parte da função da qual procuramos a inversa. Em verde está mostrada a função inversa, que indicamos por arcsen ou apenas asin.

Domínio e conjunto imagem do arcsen

Com essas duas funções podemos ilustrar bem a troca entre o domínio e o conjunto imagem. Veja a figura seguinte, os gráficos são os mesmos, nas mesmas cores, só que um pouco ampliados e com algumas linhas e pontos acrescentados:

Observe que o domínio da restrição da função seno (a linha vermelha) era o intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Por domínio entendemos todos os x para os quais a função é definida. Nós a definimos justamente apenas para esse intervalo, para obter uma função injetora. No gráfico procuramos esses x no eixo x.

Agora veja como é o conjunto imagem da função arcsen (a linha verde). O conjunto imagem são todos os y que a função pode nos devolver na saída, ou seja, procuramos esses valores no eixo y. A função arcsen tem como conjunto imagem, de novo, o intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

essa é uma propriedade geral da função inversa, então não deveria surpreender ninguém. O mesmo vale para o conjunto imagem da restrição da função seno e para o domínio do arcsen. O conjunto imagem da função seno é o intervalo de menos um a um. O seno só pode nos devolver esses valores; o seno de nenhum ângulo é maior que um ou menor que menos um. E, como o seno de nenhum ângulo pode ser maior que um, é lógico que a função inversa também não pode receber na entrada um valor maior que um. Por isso o domínio da função arcsen é também o intervalo [−1, 1].

Você pode calcular o valor da função arco seno na nossa calculadora.

Arco cosseno

Agora, brevemente, sobre a função inversa do cosseno. Pelo mesmo motivo que na função seno, aqui não existe função inversa, porque a função não é injetora. De todo modo, podemos escolher um subconjunto do domínio e obter assim uma função injetora.

Em azul está marcado o gráfico da função cosseno, e a parte vermelha é a restrição dessa função ao domínio [0, π]. A linha verde representa o gráfico da função arccos(x), a inversa da nossa restrição da função cosseno.

Arco tangente

O gráfico da função tangente é assim:

O gráfico tem forma diferente das funções anteriores, mas continua não sendo injetor. De novo, porém, podemos fazer uma restrição dessa função e escolher uma parte que será injetora. Escolhemos o intervalo aberto

$$]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$$

A função inversa tem então a seguinte forma:

Arco cotangente

Tudo igual aos parágrafos anteriores. Gráfico da função cotangente: O domínio da restrição da função cotangente será o intervalo aberto ]0, π[.