Обратни тригонометрични функции

За да имат смисъл основните тригонометрични функции, трябва да определим и техните обратни функции. Те се наричат обратни тригонометрични (аркус) функции, по-точно става дума за арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Съкратено също arcsin, arccos, arctg и arccotg.

Мотивация

Нека започнем с пример. Пресметни мярката на ъгъл алфа:

Знаем дължините на две страни в триъгълника, страните b = 3 и a = 6. Трябва да пресметнем ъгъл алфа – страната a е хипотенузата, а страната b е срещулежащият катет на ъгъл алфа. Със срещулежащия катет работи функцията синус, по-точно казано, синусът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на хипотенузата. Така че опитваме да заместим във формулата:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Сега знаем, че синусът на ъгъл алфа е равен на една втора. Въпросът е как от знанието на това число да получим ъгъла. За това ни трябва обратната функция на функцията синус. Функцията синус взема на входа ъгъл и ни връща отношението на две страни. Само че сега ни трябва функция, в която да подадем отношението и да получим ъгъл.

Точно това решават аркус функциите. Преди още да определим както трябва какво всъщност са аркус функциите, ще допресметним примера с помощта на Google, който ни казва, че arcsin от една втора е 30 градуса. Ако искаш да пресметнеш същия пример на калкулатор, там арксинусът често се означава като sin⁻¹.

Обратна функция на синуса?

Първо погледни графиката на функцията синус:

Сега ще повторим някои свойства на функциите. Функцията f има обратна функция, ако е инективна. Какво означава това? Че ако вземем два различни елемента x₁ и x₂ от дефиниционното множество, тогава трябва да е в сила, че техните образи f(x₁) и f(x₂) са различни. Това трябва да е в сила за всички възможни двойки. Лесно може да се отчете от графиката – ако можем да прекараме през графиката права, успоредна на оста x, така че тази права да пресече графиката на функцията f повече от веднъж, тогава тази функция не е инективна.

Очевидно е в сила, че при функцията синус можем да намерим такава права. Например самата ос x пресича графиката на функцията синус повече от веднъж, по-точно казано я пресича безкрайно много пъти. Затова функцията синус не е инективна и за нея не съществува обратна функция.

Обратна функция на стеснението на функцията синус

От предишния раздел знаем, че за функцията синус не съществува обратна функция. От първия раздел обаче знаем, че съществува някаква функция arcsin, която се държи точно както искаме. Как постигнахме това? Избрахме от функцията синус само част, която е инективна и така можем за това стеснение на функцията да определим обратна функция.

Ограничаването на функцията синус постигаме, като намалим нейното дефиниционно множество. Какво подмножество на първоначалното дефиниционно множество (реалните числа) да изберем? Можем да изберем повече подмножества, но най-добрият избор е интервалът

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Този интервал е показан на следния чертеж:

В това дефиниционно множество вече можем да определим обратна функция, защото в този интервал функцията синус е инективна. Обратната функция е симетрична с първоначалната функция спрямо ъглополовящата на I и III квадрант, така че вече можем да начертаем графиката на функцията, която ще е обратна на нашето стеснение на функцията sin(x). Погледни чертежа:

В синьо е начертан първоначалният синус. В червено е откроена частта от функцията, за която търсим обратна функция. В зелено е показана обратната функция, която означаваме arcsin или само asin.

Дефиниционно множество и множество от стойности на arcsin

Върху тези две функции можем нагледно да илюстрираме размяната на дефиниционното множество и множеството от стойности. Погледни следния чертеж, там са същите графики, в същите цветове, само че е малко увеличено и са добавени някакви линии и точки:

Забележи, че дефиниционното множество на стеснението на функцията синус (червената линия) беше интервалът

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Под дефиниционно множество разбираме всички x, за които функцията е определена. Ние я определихме именно само за този интервал, за да получим инективна функция. На графиката търсим тези x на оста x.

Сега погледни как изглежда множеството от стойности на функцията arcsin (зелената линия). Множеството от стойности са всички y, които функцията може да ни върне на изхода, тоест търсим ги на оста y. Множеството от стойности на функцията arcsin е отново интервалът

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

това е общо свойство на обратната функция, така че не би трябвало да изненадва никого. Същото важи за множеството от стойности на стеснението на функцията синус и за дефиниционното множество на arcsin. Множеството от стойности на функцията синус е интервалът от минус едно до едно. Синусът може да ни върне само тези стойности, синусът на никой ъгъл не е по-голям от едно или по-малък от минус едно. А тъй като синусът на никой ъгъл не може да е по-голям от едно, логично е и обратната функция да не може да взема на входа стойност, по-голяма от едно. Затова дефиниционното множество на функцията arcsin е също интервалът [−1; 1].

Стойността на функцията арксинус можеш да пресметнеш в нашия калкулатор.

Арккосинус

Сега накратко за обратната функция на косинуса. Поради същата причина като при функцията синус тук не съществува обратна функция, защото функцията не е инективна. Можем обаче да изберем подмножество на дефиниционното множество и така да получим инективна функция.

В синьо е отбелязана графиката на функцията косинус, червената част е стеснението на тази функция до дефиниционното множество [0; π]. Зелената линия представлява графиката на функцията arccos(x), обратната функция на нашето стеснение на функцията косинус.

Арктангенс

Графиката на функцията тангенс изглежда както следва:

Графиката има различна форма от предишните функции, но все още не е инективна. Отново обаче можем да направим стеснение на тази функция и да изберем такава част, която ще е инективна. Избираме си отворения интервал

$$(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$$

Обратната функция има тогава следния вид:

Арккотангенс

Всичко е същото като в предишните параграфи. Графика на функцията котангенс: Дефиниционното множество на стеснението на функцията котангенс ще бъде отвореният интервал (0; π).