Arkusfunktionen

Damit die grundlegenden Winkelfunktionen sinnvoll nutzbar sind, müssen wir auch ihre Umkehrfunktionen definieren. Diese heißen Arkusfunktionen, genauer handelt es sich um Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens. Kurz schreibt man auch arcsin, arccos, arctan und arccot.

Motivation

Beginnen wir mit einem Beispiel. Berechne die Größe des Winkels alpha:

Wir kennen die Längen zweier Seiten des Dreiecks, die Seite b = 3 und die Seite a = 6. Wir sollen den Winkel alpha berechnen – die Seite a ist die Hypotenuse und die Seite b ist die Gegenkathete des Winkels alpha. Mit der Gegenkathete arbeitet die Sinusfunktion, genauer gesagt ist der Sinus des Winkels alpha gleich dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse. Wir setzen also in die Formel ein:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Jetzt wissen wir, dass der Sinus des Winkels alpha gleich einhalb ist. Die Frage ist, wie wir aus diesem Wert den Winkel erhalten. Dazu brauchen wir die Umkehrfunktion der Sinusfunktion. Die Sinusfunktion bekommt einen Winkel und liefert uns das Verhältnis zweier Seiten. Wir brauchen aber jetzt eine Funktion, in die wir das Verhältnis einsetzen und die uns den Winkel liefert.

Genau das leisten die Arkusfunktionen. Bevor wir sauber definieren, was die Arkusfunktionen eigentlich sind, rechnen wir das Beispiel mit Google zu Ende, das uns sagt, dass arcsin von einhalb 30 Grad ist. Wenn du dasselbe Beispiel mit dem Taschenrechner nachrechnen möchtest, ist dort der Arkussinus oft als sin⁻¹ bezeichnet.

Umkehrfunktion zum Sinus?

Sieh dir zuerst den Graphen der Sinusfunktion an:

Jetzt wiederholen wir einige Eigenschaften von Funktionen. Eine Funktion f hat eine Umkehrfunktion, wenn sie injektiv ist. Was bedeutet das? Wenn wir zwei verschiedene Elemente x₁ und x₂ aus der Definitionsmenge nehmen, dann müssen ihre Bilder f(x₁) und f(x₂) verschieden sein. Das muss für alle möglichen Paare gelten. Am Graphen lässt sich das leicht ablesen – wenn wir den Graphen mit einer Geraden parallel zur x-Achse so schneiden können, dass diese Gerade den Graphen der Funktion f mehr als einmal trifft, dann ist die Funktion nicht injektiv.

Offensichtlich finden wir bei der Sinusfunktion so eine Gerade. Zum Beispiel schneidet schon die x-Achse selbst den Graphen der Sinusfunktion mehr als einmal, genauer gesagt unendlich oft. Die Sinusfunktion ist deshalb nicht injektiv und es gibt zu ihr keine Umkehrfunktion.

Umkehrfunktion zur Einschränkung der Sinusfunktion

Aus dem letzten Kapitel wissen wir, dass es zur Sinusfunktion keine Umkehrfunktion gibt. Aus dem ersten Kapitel wissen wir aber, dass es eine Funktion arcsin gibt, die sich genau so verhält, wie wir es brauchen. Wie haben wir das erreicht? Wir haben aus der Sinusfunktion nur den Teil ausgewählt, der injektiv ist, und können so zu dieser Einschränkung der Funktion eine Umkehrfunktion definieren.

Die Einschränkung der Sinusfunktion erreichen wir, indem wir ihre Definitionsmenge verkleinern. Welche Teilmenge der ursprünglichen Definitionsmenge (reelle Zahlen) wählen wir? Wir können mehrere Teilmengen wählen, aber die beste Wahl ist das Intervall

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Dieses Intervall ist im folgenden Bild dargestellt:

Auf dieser Definitionsmenge können wir bereits eine Umkehrfunktion definieren, denn auf diesem Intervall ist die Sinusfunktion injektiv. Die Umkehrfunktion liegt symmetrisch zur ursprünglichen Funktion bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, also können wir schon den Graphen der Funktion zeichnen, die die Umkehrfunktion zu unserer Einschränkung der Funktion sin(x) ist. Sieh dir das Bild an:

Blau ist der ursprüngliche Sinus gezeichnet. Rot ist der Teil der Funktion hervorgehoben, zu dem wir die Umkehrfunktion suchen. Grün ist die Umkehrfunktion dargestellt, die wir mit arcsin oder nur asin bezeichnen.

Definitionsmenge und Wertemenge von arcsin

An diesen beiden Funktionen können wir schön veranschaulichen, wie Definitionsmenge und Wertemenge vertauscht werden. Sieh dir das folgende Bild an, es sind dieselben Graphen in denselben Farben, nur etwas vergrößert und mit einigen zusätzlichen Linien und Punkten:

Beachte, dass die Definitionsmenge der Einschränkung der Sinusfunktion (rote Linie) das Intervall

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

war. Unter der Definitionsmenge verstehen wir alle x, für die die Funktion definiert ist. Wir haben sie genau nur für dieses Intervall definiert, damit wir eine injektive Funktion erhalten. Am Graphen suchen wir diese x auf der x-Achse.

Schau dir jetzt an, wie die Wertemenge der Funktion arcsin (grüne Linie) aussieht. Die Wertemenge besteht aus allen y, die uns die Funktion als Ausgabe liefern kann, wir suchen sie also auf der y-Achse. Die Funktion arcsin hat als Wertemenge wieder das Intervall

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Das ist eine allgemeine Eigenschaft der Umkehrfunktion, also sollte es niemanden überraschen. Ähnlich gilt es für die Wertemenge der Einschränkung der Sinusfunktion und für die Definitionsmenge von arcsin. Die Wertemenge der Sinusfunktion ist das Intervall von minus eins bis eins. Der Sinus kann nur diese Werte annehmen, der Sinus keines Winkels ist größer als eins oder kleiner als minus eins. Und weil der Sinus keines Winkels größer als eins sein kann, ist es logisch, dass die Umkehrfunktion als Eingabe ebenfalls keinen Wert größer als eins annehmen kann. Deshalb ist die Definitionsmenge der Funktion arcsin ebenfalls das Intervall [−1; 1].

Arkuskosinus

Jetzt nur kurz zur Umkehrfunktion des Kosinus. Aus demselben Grund wie bei der Sinusfunktion gibt es auch hier keine Umkehrfunktion, weil die Funktion nicht injektiv ist. Wir können aber eine Teilmenge der Definitionsmenge auswählen und so eine injektive Funktion erhalten.

Blau ist der Graph der Kosinusfunktion eingezeichnet, der rote Teil ist die Einschränkung dieser Funktion auf die Definitionsmenge [0; π]. Die grüne Linie stellt den Graphen der Funktion arccos(x) dar, der Umkehrfunktion zu unserer Einschränkung der Kosinusfunktion.

Arkustangens

Der Graph der Tangensfunktion sieht folgendermaßen aus:

Der Graph hat eine andere Form als bei den vorherigen Funktionen, ist aber immer noch nicht injektiv. Wir können aber wieder die Funktion einschränken und einen Teil auswählen, der injektiv ist. Wir wählen das offene Intervall

$$]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$$

Die Umkehrfunktion hat dann die folgende Form:

Arkuskotangens

Alles genauso wie in den vorherigen Abschnitten. Graph der Kotangensfunktion: Die Definitionsmenge der Einschränkung der Kotangensfunktion wird das offene Intervall ]0; π[ sein.