Fonctions trigonométriques réciproques

Pour que les fonctions trigonométriques aient un sens, il faut aussi définir leurs fonctions réciproques. On les appelle les fonctions « arc » : plus précisément, l'arcsinus, l'arccosinus, l'arctangente et l'arccotangente. En abrégé : arcsin, arccos, arctan et arccot.

Motivation

Commençons par un exemple. Calcule la mesure de l'angle alpha :

On connaît les longueurs de deux côtés du triangle : b = 3 et a = 6. Il faut calculer l'angle alpha : le côté a est l'hypoténuse et le côté b est le côté opposé à l'angle alpha. La fonction sinus utilise le côté opposé ; plus précisément, le sinus de l'angle alpha est égal au rapport de la longueur du côté opposé sur celle de l'hypoténuse. Essayons donc d'appliquer la formule :

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

On sait maintenant que le sinus de l'angle alpha vaut un demi. La question est de savoir comment obtenir l'angle à partir de cette valeur. Il faut pour cela la fonction réciproque de la fonction sinus. La fonction sinus prend un angle en entrée et renvoie le rapport de deux côtés. Mais nous avons maintenant besoin d'une fonction à laquelle on fournit un rapport et qui donne en sortie un angle.

C'est précisément le rôle des fonctions arc. Avant de bien les définir, calculons l'exemple avec Google, qui indique que l'arcsinus de un demi vaut 30 degrés. Si l'on veut refaire le même calcul à la calculatrice, l'arcsinus y est souvent noté sin⁻¹.

Une fonction réciproque du sinus ?

Observons d'abord la courbe de la fonction sinus :

Rappelons quelques propriétés des fonctions. Une fonction f admet une fonction réciproque si elle est injective. Qu'est-ce que cela signifie ? Que si l'on prend deux éléments distincts x₁ et x₂ de l'ensemble de définition, alors leurs images f(x₁) et f(x₂) sont différentes. Cela doit être vrai pour tous les couples possibles. On le lit facilement sur la courbe : si l'on peut tracer une droite parallèle à l'axe des abscisses x qui coupe la courbe de f plus d'une fois, alors cette fonction n'est pas injective.

Il est évident que, pour la fonction sinus, on peut trouver une telle droite. Par exemple, l'axe des abscisses x lui-même coupe la courbe du sinus plus d'une fois, en fait une infinité de fois. La fonction sinus n'est donc pas injective, et elle n'a pas de fonction réciproque.

Fonction réciproque d'une restriction de la fonction sinus

Le chapitre précédent nous a montré que la fonction sinus n'admet pas de fonction réciproque. Mais le premier chapitre nous a aussi appris qu'il existe une fonction arcsin qui se comporte exactement comme nous le voulons. Comment y sommes-nous parvenus ? En ne gardant de la fonction sinus qu'une partie injective, ce qui permet de définir une fonction réciproque sur cette restriction de la fonction.

On restreint la fonction sinus en réduisant son ensemble de définition. Quel sous-ensemble de l'ensemble de définition d'origine (nombres réels) choisir ? On peut en choisir plusieurs, mais le meilleur choix est l'intervalle

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Cet intervalle est représenté sur la figure suivante :

Sur cet ensemble de définition, on peut désormais définir une fonction réciproque, car sur cet intervalle la fonction sinus est injective. La fonction réciproque est symétrique de la fonction d'origine par rapport à la première bissectrice ; on peut donc tracer la courbe de la fonction réciproque de notre restriction de sin(x). Observons la figure :

En bleu est tracé le sinus d'origine. En rouge, la partie de la fonction pour laquelle on cherche la fonction réciproque. La fonction réciproque est tracée en vert ; on la note arcsin ou plus simplement asin.

Ensemble de définition et ensemble image de arcsin

Ces deux fonctions permettent d'illustrer clairement l'échange de l'ensemble de définition et de l'ensemble image. Regardons la figure suivante : on y trouve les mêmes courbes, dans les mêmes couleurs, simplement un peu agrandies, avec quelques traits et points ajoutés :

Remarque que l'ensemble de définition de la restriction de la fonction sinus (ligne rouge) était l'intervalle

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

On appelle ensemble de définition l'ensemble de tous les x pour lesquels la fonction est définie. Nous ne l'avons définie que sur cet intervalle, afin d'obtenir une fonction injective. Sur le graphique, on cherche ces x sur l'axe des abscisses x.

Regardons maintenant l'ensemble image de la fonction arcsin (ligne verte). Il est formé de tous les y que la fonction peut renvoyer en sortie ; on les cherche donc sur l'axe des ordonnées y. La fonction arcsin a pour ensemble image l'intervalle

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

C'est une propriété générale des fonctions réciproques, qui ne doit donc surprendre personne. Il en va de même pour l'ensemble image de la restriction de la fonction sinus et l'ensemble de définition de arcsin. L'ensemble image de la fonction sinus est l'intervalle [−1 ; 1]. Le sinus ne peut renvoyer que ces valeurs : le sinus d'aucun angle n'est supérieur à 1 ou inférieur à −1. Et comme le sinus d'aucun angle ne peut dépasser 1, il est logique que la fonction réciproque ne puisse pas prendre en entrée une valeur supérieure à 1. C'est pourquoi l'ensemble de définition de la fonction arcsin est également l'intervalle [−1 ; 1].

Arccosinus

Passons brièvement à la fonction réciproque du cosinus. Pour la même raison que pour le sinus, il n'existe pas de fonction réciproque ici, car la fonction n'est pas injective. On peut cependant choisir un sous-ensemble de l'ensemble de définition et obtenir ainsi une fonction injective.

En bleu est tracée la courbe de la fonction cosinus ; la partie en rouge est la restriction de cette fonction à l'ensemble de définition [0 ; π]. La ligne verte représente la courbe de la fonction arccos(x), réciproque de notre restriction de la fonction cosinus.

Arctangente

La courbe de la fonction tangente se présente ainsi :

La courbe a une forme différente de celle des fonctions précédentes, mais elle n'est toujours pas injective. On peut cependant de nouveau restreindre cette fonction en choisissant une partie qui soit injective. Choisissons l'intervalle ouvert

$$]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$$

La fonction réciproque a alors la forme suivante :

Arccotangente

Tout est identique aux paragraphes précédents. La courbe de la fonction cotangente :

L'ensemble de définition de la restriction de la fonction cotangente sera l'intervalle ouvert ]0 ; π[.