Funciones trigonométricas inversas

Para que las funciones trigonométricas básicas tengan sentido, hace falta definir también sus funciones inversas. Son las llamadas funciones arco; más exactamente, se trata del arcoseno, el arcocoseno, la arcotangente y la arcocotangente. Abreviadamente también arcsen, arccos, arctg y arccotg.

Motivación

Empecemos con un ejemplo. Calcula la medida del ángulo alfa:

Conocemos las longitudes de dos lados del triángulo, el lado b = 3 y el lado a = 6. Tenemos que calcular el ángulo alfa: el lado a es la hipotenusa y el lado b es el cateto opuesto al ángulo alfa. Con el cateto opuesto trabaja la función seno; más exactamente, el seno del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. Así que probamos a sustituir en la fórmula:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Ahora sabemos que el seno del ángulo alfa es igual a un medio. La cuestión es cómo obtener el ángulo a partir de este número. Para ello necesitamos la función inversa de la función seno. La función seno toma como entrada un ángulo y nos devuelve la razón de dos lados. Pero ahora necesitamos una función a la que le demos la razón y nos dé el ángulo.

Esto es justamente lo que resuelven las funciones arco. Antes de definir con rigor qué son las funciones arco, terminaremos el ejemplo: el arcoseno de un medio es 30 grados. Si quieres calcular el mismo ejemplo con la calculadora, en ella el arcoseno suele aparecer como sen⁻¹.

¿Función inversa del seno?

Primero observa la gráfica de la función seno:

Ahora repasamos algunas propiedades de las funciones. Una función f tiene función inversa si es inyectiva. ¿Qué significa esto? Que si tomamos dos elementos distintos x₁ y x₂ del dominio, tiene que cumplirse que sus imágenes f(x₁) y f(x₂) sean distintas. Esto tiene que cumplirse para todos los pares posibles. Se puede leer fácilmente en la gráfica: si podemos trazar una recta paralela al eje x de modo que corte la gráfica de la función f más de una vez, entonces la función no es inyectiva.

Evidentemente, en la función seno somos capaces de encontrar una recta así. Por ejemplo, el propio eje x corta la gráfica de la función seno más de una vez; más exactamente, la corta infinitas veces. Por eso la función seno no es inyectiva y no tiene función inversa.

Función inversa de la restricción de la función seno

Del capítulo anterior sabemos que no existe una función inversa de la función seno. Pero del primer capítulo sabemos que existe una función arcsen que se comporta exactamente como necesitamos. ¿Cómo lo hemos conseguido? Hemos elegido de la función seno solo una parte que es inyectiva y así podemos definir la función inversa de esta restricción de la función.

La restricción de la función seno la conseguimos reduciendo su dominio. ¿Qué subconjunto del dominio original (números reales) elegir? Podemos elegir varios subconjuntos, pero la mejor elección es el intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Este intervalo aparece en la siguiente figura:

En este dominio ya podemos definir la función inversa, porque en este intervalo la función seno es inyectiva. La función inversa es simétrica de la función original respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, así que ya podemos dibujar la gráfica de la función inversa de nuestra restricción de la función sen(x). Observa la figura:

En azul está dibujado el seno original. En rojo está resaltada la parte de la función de la que buscamos la inversa. En verde está representada la función inversa, que denotamos arcsen o solo asin.

Dominio y recorrido del arcoseno

Con estas dos funciones podemos ilustrar muy bien el intercambio del dominio y el recorrido. Observa la siguiente figura, donde están las mismas gráficas, con los mismos colores, solo que un poco ampliadas y con algunas líneas y puntos añadidos:

Fíjate en que el dominio de la restricción de la función seno (línea roja) era el intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Por dominio entendemos todos los x para los que la función está definida. Nosotros la hemos definido justo solo en este intervalo, para obtener una función inyectiva. En la gráfica buscamos estos x en el eje x.

Ahora mira cómo es el recorrido de la función arcsen (línea verde). El recorrido son todos los y que la función puede devolver como salida, es decir, los buscamos en el eje y. La función arcsen tiene como recorrido de nuevo el intervalo

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

esto es una propiedad general de la función inversa, así que no debería sorprender a nadie. De forma parecida ocurre con el recorrido de la restricción de la función seno y con el dominio del arcsen. El recorrido de la función seno es el intervalo de menos uno a uno. El seno solo puede devolver estos valores: el seno de ningún ángulo es mayor que uno ni menor que menos uno. Y como el seno de ningún ángulo puede ser mayor que uno, es lógico que la función inversa tampoco pueda tomar como entrada un valor mayor que uno. Por eso el dominio de la función arcsen es también el intervalo [−1, 1].

Arcocoseno

Ahora, brevemente, la función inversa del coseno. Por la misma razón que en la función seno, aquí no existe función inversa, porque la función no es inyectiva. Sin embargo, podemos elegir un subconjunto del dominio y obtener así una función inyectiva.

En azul está marcada la gráfica de la función coseno; la parte roja es la restricción de esta función al dominio [0,π]. La línea verde representa la gráfica de la función arccos(x), la inversa de nuestra restricción de la función coseno.

Arcotangente

La gráfica de la función tangente tiene este aspecto:

La gráfica tiene una forma distinta de las funciones anteriores, pero sigue sin ser inyectiva. De nuevo podemos hacer una restricción de esta función y elegir una parte que sí sea inyectiva. Elegimos el intervalo abierto

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

La función inversa tiene entonces esta forma:

Arcocotangente

Todo igual que en los apartados anteriores. Gráfica de la función cotangente: El dominio de la restricción de la función cotangente será el intervalo abierto (0,π).