正弦定理と余弦定理

正弦定理は、ふつうの三角比とちがって、一般の三角形で成り立つ定理です。辺の長さと角の関係を表します。余弦定理も一般の三角形で成り立ち、その特別な場合が三平方の定理です。

正弦定理

正弦定理によると、一般の三角形（直角三角形とはかぎりません）では、各辺の長さと、その辺の向かいにある角のサインの比が一定になります。式で書くと、次のようになります。

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

ここで R は外接円の半径、a、b、c は三角形の辺の長さです。この等式は、次の形に書きかえることもできます。

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

余弦定理

余弦定理も、正弦定理と同じく一般の三角形で成り立ちます。余弦定理は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

角の1つが直角、つまり90°のときは、式の1つで最後の部分が消えて、三平方の定理の形になることに注目しましょう。α = 90° なら cos(α) = 0 なので、次のようになるからです。

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

正弦定理が必要になる例

三角形 ABC があり、辺 c の長さが |c| = 9 だとします。角の大きさは α = 40°, β = 80°, γ = 60° です。残りの2辺の長さはいくつでしょうか。ここでは、ふつうの三角比だけでは足りません。三角比は直角三角形で使うものですが、この三角形はどう見ても直角三角形ではないからです。図は次のとおりです。

そこで、別の方法が必要になります。その1つが正弦定理です。どのように使えばよいでしょうか。正弦定理によると、次の式が成り立ちます。

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

このうち、すべての角と辺 c の長さがわかっています。そこで、辺 b は次の等式から求めます。

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

この式を辺 b の長さについて解きます。同値変形をして、両辺に角βのサインをかけます。すると、次の式が得られます。

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

右辺の値は、どれもわかっているか計算で求められます。そこで代入します。

$$|b|=\frac{9\cdot 0.985}{0.866}=10.23.$$

残りの辺 a も、まったく同じように求めます。

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

両辺に角αのサインをかけて、|a| について解きます。

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

答えを計算します。

$$|a|=\frac{9\cdot 0.642}{0.866}=6.672$$

正弦定理の導き方

正弦定理はなぜ成り立つのでしょうか。ふつうの三角形 ABC に、辺 c を底辺とする高さをかき入れて考えてみましょう。

求めたいのは線分 CP_c の長さです。高さによって、三角形 ABC は2つの直角三角形に分かれ、それぞれを使って高さを表せます。そこで、線分 CP_c の長さを、2つの三角形のそれぞれを使って表してみましょう。角αのサインは次のとおりです。

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

ここから |CP_c| について解きます。

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

次に、もう一方の三角形と角βを使って、線分 CP_c の長さを表します。

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

ここからも |CP_c| について解きます。

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

これで、高さを2通りの式で表せました。

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

したがって、次の等式が得られます。

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

正弦定理まで、あと少しです。両辺を、角αのサインと角βのサインの積で割ります。

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/÷(\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta ))\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{サインを約分}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

ここでは正弦定理の一部を証明しましたが、ほかの辺の組合せについても、まったく同じように証明できます。