Inverse trigonometriske funksjoner

For at de grunnleggende trigonometriske funksjonene skal gi mening, må vi også definere de inverse funksjonene deres. De kalles arcusfunksjoner, nærmere bestemt arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens og arcus cotangens. Kort skriver vi arcsin, arccos, arctan og arccot.

Motivasjon

La oss begynne med et eksempel. Regn ut størrelsen på vinkelen alfa:

Vi kjenner lengdene av to sider i trekanten, siden b = 3 og siden a = 6. Vi skal regne ut vinkelen alfa. Siden a er hypotenusen, og siden b er motstående katet til vinkelen alfa. Med motstående katet arbeider funksjonen sinus, nærmere bestemt er sinus til vinkelen alfa lik forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hypotenusen. Vi prøver å sette inn i formelen:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Nå vet vi at sinus til vinkelen alfa er lik en halv. Spørsmålet er hvordan vi ut fra dette tallet kan finne vinkelen. Til det trenger vi den inverse funksjonen til funksjonen sinus. Funksjonen sinus tar en vinkel som input og gir oss forholdet mellom to sider. Men nå trenger vi en funksjon vi legger forholdet inn i, og så kommer vinkelen ut.

Nettopp dette løser arcusfunksjonene. Før vi definerer ordentlig hva arcusfunksjoner egentlig er, fullfører vi eksempelet: arcsin av en halv er 30 grader. Hvis du vil regne ut det samme eksempelet på en kalkulator, er arcus sinus der ofte skrevet som sin⁻¹.

Invers funksjon til sinus?

Se først på grafen til funksjonen sinus:

Nå repeterer vi noen egenskaper ved funksjoner. En funksjon f har en invers funksjon hvis den er injektiv. Hva betyr det? At hvis vi tar to ulike elementer x₁ og x₂ fra definisjonsmengden, må funksjonsverdiene deres f(x₁) og f(x₂) være ulike. Dette må gjelde for alle mulige par. Det kan lett leses av fra grafen: hvis vi kan legge en linje parallelt med x-aksen slik at linjen skjærer grafen til funksjonen f mer enn én gang, er ikke funksjonen injektiv.

Det er tydelig at vi kan finne en slik linje for funksjonen sinus. For eksempel skjærer x-aksen selv grafen til funksjonen sinus mer enn én gang, nærmere bestemt uendelig mange ganger. Funksjonen sinus er derfor ikke injektiv, og derfor finnes det ingen invers funksjon til den.

Invers funksjon til restriksjonen av funksjonen sinus

Fra forrige kapittel vet vi at det ikke finnes noen invers funksjon til funksjonen sinus. Men fra det første kapittelet vet vi at det finnes en funksjon arcsin som oppfører seg nøyaktig slik vi ønsker. Hvordan oppnådde vi det? Vi valgte ut fra funksjonen sinus bare en del som er injektiv, og for denne restriksjonen av funksjonen kan vi definere en invers funksjon.

Vi begrenser funksjonen sinus ved å gjøre definisjonsmengden mindre. Hvilken delmengde av den opprinnelige definisjonsmengden (de reelle tallene) skal vi velge? Vi kan velge flere delmengder, men det beste valget er intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Dette intervallet er vist på følgende figur:

På denne definisjonsmengden kan vi allerede definere en invers funksjon, for på dette intervallet er funksjonen sinus injektiv. Den inverse funksjonen er speilsymmetrisk med den opprinnelige funksjonen om linjen y = x, så nå kan vi tegne grafen til funksjonen som er invers til restriksjonen vår av funksjonen sin(x). Se på figuren:

Med blått er den opprinnelige sinusfunksjonen tegnet. Med rødt er den delen av funksjonen vi leter etter en invers funksjon til, uthevet. Med grønt er den inverse funksjonen tegnet, som vi skriver arcsin eller bare asin.

Definisjonsmengde og verdimengde til arcsin

På disse to funksjonene kan vi illustrere pent at definisjonsmengden og verdimengden bytter plass. Se på følgende figur. Der er de samme grafene i de samme fargene, bare litt forstørret og med noen linjer og punkter lagt til:

Legg merke til at definisjonsmengden til restriksjonen av funksjonen sinus (den røde streken) var intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Med definisjonsmengden mener vi alle x som funksjonen er definert for. Vi definerte den nettopp bare for dette intervallet for å få en injektiv funksjon. På grafen leter vi etter disse x-ene på x-aksen.

Se nå på hvordan verdimengden til funksjonen arcsin (den grønne streken) ser ut. Verdimengden er alle y som funksjonen kan gi oss som output, altså leter vi etter dem på y-aksen. Funksjonen arcsin har igjen intervallet

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

som verdimengde. Dette er en generell egenskap ved inverse funksjoner, så det burde ikke overraske noen. På samme måte gjelder det for verdimengden til restriksjonen av funksjonen sinus og definisjonsmengden til arcsin. Verdimengden til funksjonen sinus er intervallet fra minus én til én. Sinus kan bare gi oss disse verdiene, sinus til en vinkel er aldri større enn én eller mindre enn minus én. Og siden sinus til en vinkel aldri kan være større enn én, er det logisk at den inverse funksjonen heller ikke kan ta en verdi større enn én som input. Derfor er definisjonsmengden til funksjonen arcsin også intervallet [−1, 1]. Du kan regne ut verdien av funksjonen arcsin i kalkulatoren vår.

Arcus cosinus

Nå kort om den inverse funksjonen til cosinus. Av samme grunn som for funksjonen sinus finnes det ingen invers funksjon her, fordi funksjonen ikke er injektiv. Vi kan likevel velge en delmengde av definisjonsmengden og dermed få en injektiv funksjon.

Med blått er grafen til funksjonen cosinus tegnet, og den røde delen er restriksjonen av denne funksjonen til definisjonsmengden [0, π]. Den grønne streken er så grafen til funksjonen arccos(x), den inverse funksjonen til restriksjonen vår av funksjonen cosinus.

Arcus tangens

Grafen til funksjonen tangens ser slik ut:

Grafen har en annen form enn de foregående funksjonene, men er fortsatt ikke injektiv. Igjen kan vi imidlertid ta en restriksjon av denne funksjonen og velge en del som er injektiv. Vi velger det åpne intervallet

$$⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$$

Den inverse funksjonen har da følgende form:

Arcus cotangens

Alt er likt som i de foregående avsnittene. Grafen til funksjonen cotangens: Definisjonsmengden til restriksjonen av funksjonen cotangens blir det åpne intervallet ⟨0, π⟩.