Arcusfunktioner

For at de grundlæggende trigonometriske funktioner kan give mening, er det nødvendigt også at definere deres omvendte funktioner. De kaldes netop arcusfunktioner, nærmere bestemt arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens og arcus cotangens. Kortere også arcsin, arccos, arctan og arccot.

Motivation

Lad os begynde med et eksempel. Beregn størrelsen af vinklen alfa:

Vi kender længden af to sider i trekanten, siden b = 3 og siden a = 6. Vi skal beregne vinklen alfa — siden a er hypotenusen, og siden b er den modstående katete til vinklen alfa. Med den modstående katete arbejder funktionen sinus, nærmere bestemt er sinus til vinklen alfa lig med forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af hypotenusen. Så vi prøver at indsætte i formlen:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Nu ved vi, at sinus til vinklen alfa er lig med en halv. Spørgsmålet er, hvordan vi ud fra dette tal får vinklen. Til det har vi brug for den omvendte funktion til funktionen sinus. Funktionen sinus tager en vinkel som input og giver os forholdet mellem to sider tilbage. Men nu har vi brug for en funktion, som vi indsætter et forhold i, og som giver os en vinkel ud.

Det er netop det, arcusfunktionerne løser. Inden vi ordentligt definerer, hvad arcusfunktioner egentlig er, regner vi eksemplet færdigt ved hjælp af Google, som fortæller os, at arcsin til en halv er 30 grader. Hvis du vil regne det samme eksempel på lommeregneren, så er arcus sinus der ofte betegnet som sin⁻¹.

Omvendt funktion til sinus?

Først skal du se på grafen for funktionen sinus:

Nu repeterer vi nogle egenskaber ved funktioner. En funktion f har en omvendt funktion, hvis den er injektiv. Hvad betyder det? At hvis vi tager to forskellige elementer x₁ og x₂ fra definitionsmængden, så skal det gælde, at deres billeder f(x₁) og f(x₂) er forskellige. Det skal gælde for alle mulige par. Det kan let aflæses af grafen — hvis vi kan lægge en linje parallel med x-aksen, så linjen skærer grafen for funktionen f mere end én gang, så er funktionen ikke injektiv.

Det er åbenlyst, at vi for funktionen sinus kan finde sådan en linje. For eksempel skærer selve x-aksen grafen for funktionen sinus mere end én gang, nærmere bestemt skærer den den uendeligt mange gange. Funktionen sinus er derfor ikke injektiv, og så findes der ingen omvendt funktion til den.

Omvendt funktion til en restriktion af funktionen sinus

Af det forrige afsnit ved vi, at der ikke findes en omvendt funktion til funktionen sinus. Men af det første afsnit ved vi, at der findes en funktion arcsin, som opfører sig præcis, som vi ønsker. Hvordan har vi opnået det? Vi har af funktionen sinus udvalgt kun en del, som er injektiv, og til den restriktion af funktionen kan vi så definere en omvendt funktion.

Begrænsningen af funktionen sinus opnår vi ved at gøre dens definitionsmængde mindre. Hvilken delmængde af den oprindelige definitionsmængde (de reelle tal) skal vi vælge? Vi kan vælge flere delmængder, men det bedste valg er intervallet

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Dette interval er vist på den følgende figur:

På denne definitionsmængde kan vi allerede definere en omvendt funktion, fordi funktionen sinus er injektiv på dette interval. Den omvendte funktion er symmetrisk med den oprindelige funktion om linjen y = x, så vi kan allerede tegne grafen for den funktion, som er omvendt til vores restriktion af funktionen sin(x). Se på figuren:

Med blåt er den oprindelige sinus tegnet. Med rødt er den del af funktionen fremhævet, som vi leder efter en omvendt funktion til. Med grønt er den omvendte funktion vist, som vi betegner arcsin eller sin⁻¹.

Definitionsmængde og værdimængde for arcsin

På disse to funktioner kan vi pænt illustrere, at definitionsmængde og værdimængde bytter plads. Se på den følgende figur, der er de samme grafer i de samme farver, bare lidt forstørret og med nogle linjer og punkter tilføjet:

Læg mærke til, at definitionsmængden for restriktionen af funktionen sinus (den røde kurve) var intervallet

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Ved definitionsmængden forstår vi alle de x, for hvilke funktionen er defineret. Vi har defineret den netop kun for dette interval for at få en injektiv funktion. På grafen leder vi efter disse x på x-aksen.

Se nu på, hvordan værdimængden for funktionen arcsin (den grønne kurve) ser ud. Værdimængden er alle de y, som funktionen kan give os som output, altså dem leder vi efter på y-aksen. Funktionen arcsin har igen intervallet

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

som værdimængde, det er en generel egenskab ved en omvendt funktion, så det burde ikke overraske nogen. På samme måde gælder det for værdimængden for restriktionen af funktionen sinus og for definitionsmængden for arcsin. Værdimængden for funktionen sinus er intervallet fra minus et til et. Sinus kan kun give os disse værdier, sinus til en vinkel er aldrig større end ét eller mindre end minus ét. Og fordi sinus til en vinkel aldrig kan være større end ét, er det logisk, at den omvendte funktion heller ikke kan tage en værdi større end ét som input. Derfor er definitionsmængden for funktionen arcsin også intervallet [−1; 1].

Værdien af arcus sinus kan du beregne med vores beregner.

Arcus cosinus

Nu kort om den omvendte funktion til cosinus. Af samme grund som ved funktionen sinus findes der her ingen omvendt funktion, fordi funktionen ikke er injektiv. Vi kan dog vælge en delmængde af definitionsmængden og dermed få en injektiv funktion.

Med blåt er grafen for funktionen cosinus markeret, den røde del er så restriktionen af denne funktion til definitionsmængden [0; π]. Den grønne kurve repræsenterer så grafen for funktionen arccos(x), den omvendte funktion til vores restriktion af funktionen cosinus.

Arcus tangens

Grafen for funktionen tangens ser sådan ud:

Grafen har en anden form end de foregående funktioner, men er stadig ikke injektiv. Igen kan vi dog lave en restriktion af denne funktion og vælge en sådan del, som bliver injektiv. Vi vælger det åbne interval

$$]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$$

Den omvendte funktion har så følgende form:

Arcus cotangens

Alt det samme som i de foregående afsnit. Graf for funktionen cotangens: Definitionsmængden for restriktionen af funktionen cotangens bliver det åbne interval ]0; π[.