Inverse goniometrische functies

Om de goniometrische basisfuncties zinvol te laten zijn, moeten we ook hun inverse functies definiëren. Die heten arcusfuncties, preciezer gezegd gaat het om de arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens en arcus cotangens. Verkort ook arcsin, arccos, arctan en arccot.

Motivatie

We beginnen met een voorbeeld. Bereken de grootte van de hoek alfa:

We kennen de lengtes van twee zijden in de driehoek, zijde b = 3 en zijde a = 6. We moeten de hoek alfa berekenen — zijde a is de schuine zijde en zijde b is de overstaande rechthoekszijde van de hoek alfa. Met de overstaande rechthoekszijde werkt de functie sinus, preciezer gezegd is de sinus van de hoek alfa gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de schuine zijde. We proberen dus in de formule in te vullen:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Nu weten we dat de sinus van de hoek alfa gelijk is aan een half. De vraag is hoe we uit dit getal de hoek krijgen. Daarvoor hebben we de inverse functie van de functie sinus nodig. De functie sinus neemt als invoer een hoek en geeft ons de verhouding van twee zijden. Maar nu hebben we een functie nodig waarin we de verhouding invullen en waar de hoek uit komt.

Precies dit lossen de arcusfuncties op. Voordat we netjes definiëren wat arcusfuncties eigenlijk zijn, rekenen we het voorbeeld uit: de arcsin van een half is 30 graden. Als je hetzelfde voorbeeld op een rekenmachine wilt uitrekenen, dan heet de arcus sinus daar vaak sin⁻¹.

Een inverse functie van de sinus?

Bekijk eerst de grafiek van de functie sinus:

Nu herhalen we enkele eigenschappen van functies. Een functie f heeft een inverse functie als ze injectief is. Wat betekent dat? Dat als we twee verschillende elementen x₁ en x₂ uit het domein nemen, dan moet gelden dat hun beelden f(x₁) en f(x₂) verschillend zijn. Dit moet gelden voor alle mogelijke paren. Het is gemakkelijk aan de grafiek af te lezen — als we de grafiek kunnen doorsnijden met een lijn evenwijdig aan de x-as zodat deze lijn de grafiek van de functie f meer dan één keer snijdt, dan is deze functie niet injectief.

Het is duidelijk dat we bij de functie sinus zo'n lijn kunnen vinden. De x-as zelf snijdt bijvoorbeeld de grafiek van de functie sinus meer dan één keer, preciezer gezegd snijdt ze die oneindig vaak. De functie sinus is daarom niet injectief en dus bestaat er geen inverse functie van.

Inverse functie van de beperking van de functie sinus

Uit het vorige hoofdstuk weten we dat er geen inverse functie van de functie sinus bestaat. Uit het eerste hoofdstuk weten we echter dat er een functie arcsin bestaat die zich precies zo gedraagt als we eisen. Hoe hebben we dat bereikt? We hebben uit de functie sinus alleen het deel gekozen dat injectief is en kunnen zo voor deze beperking van de functie een inverse functie definiëren.

De beperking van de functie sinus bereiken we door haar domein te verkleinen. Welke deelverzameling van het oorspronkelijke domein (reële getallen) kiezen we? We kunnen meerdere deelverzamelingen kiezen, maar de beste keuze is het interval

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Dit interval is weergegeven in de volgende afbeelding:

Op dit domein kunnen we al een inverse functie definiëren, omdat op dit interval de functie sinus injectief is. De inverse functie is het spiegelbeeld van de oorspronkelijke functie in de lijn door het eerste en derde kwadrant, dus we kunnen nu al de grafiek tekenen van de functie die de inverse is van onze beperking van de functie sin(x). Bekijk de afbeelding:

Blauw is de oorspronkelijke sinus getekend. Rood is het deel van de functie gemarkeerd waarvoor we de inverse functie zoeken. Groen is de inverse functie weergegeven, die we noteren als arcsin of kortweg asin.

Domein en bereik van arcsin

Aan deze twee functies kunnen we mooi het verwisselen van het domein en het bereik illustreren. Kijk naar de volgende afbeelding, daar staan dezelfde grafieken, in dezelfde kleuren, alleen is het wat vergroot en zijn er enkele lijnen en punten toegevoegd:

Merk op dat het domein van de beperking van de functie sinus (de rode lijn) het interval was

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Met het domein bedoelen we alle x waarvoor de functie is gedefinieerd. Wij hebben haar juist alleen voor dit interval gedefinieerd, om een injectieve functie te krijgen. In de grafiek zoeken we deze x op de x-as.

Kijk nu hoe het bereik van de functie arcsin (de groene lijn) eruitziet. Het bereik zijn alle y die de functie ons als uitvoer kan teruggeven, die zoeken we dus op de y-as. De functie arcsin heeft als bereik weer het interval

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

dit is een algemene eigenschap van een inverse functie, dus het zou niemand moeten verbazen. Op dezelfde manier geldt het voor het bereik van de beperking van de functie sinus en voor het domein van arcsin. Het bereik van de functie sinus is het interval van min één tot één. De sinus kan ons alleen deze waarden teruggeven, de sinus van geen enkele hoek is groter dan één of kleiner dan min één. En omdat de sinus van geen enkele hoek groter kan zijn dan één, is het logisch dat de inverse functie als invoer ook geen waarde groter dan één kan nemen. Daarom is het domein van de functie arcsin ook het interval [−1, 1].

Je kunt de waarde van de functie arcsin berekenen in onze rekenmachine.

Arcus cosinus

Nu nog kort over de inverse functie van de cosinus. Om dezelfde reden als bij de functie sinus bestaat hier geen inverse functie, omdat de functie niet injectief is. We kunnen echter een deelverzameling van het domein kiezen en zo een injectieve functie krijgen.

Blauw is de grafiek van de functie cosinus aangegeven, het rode deel is dan de beperking van deze functie tot het domein [0, π]. De groene lijn stelt dan de grafiek voor van de functie arccos(x), de inverse functie van onze beperking van de functie cosinus.

Arcus tangens

De grafiek van de functie tangens ziet er als volgt uit:

De grafiek heeft een andere vorm dan de vorige functies, maar is nog steeds niet injectief. We kunnen echter weer een beperking van deze functie maken en een deel kiezen dat wel injectief is. We kiezen het open interval

$$⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$$

De inverse functie heeft dan de volgende vorm:

Arcus cotangens

Alles hetzelfde als in de voorgaande alinea's. Grafiek van de functie cotangens: Het domein van de beperking van de functie cotangens is het open interval ⟨0, π⟩.