計算ツール：2元連立1次方程式

2元連立1次方程式は、同時に成り立つ2つの1次方程式の組です。両方の方程式を満たす x と y を求めます。計算ツールはクラメルの公式を使って、3つの行列式を計算し、それらの割り算で解を求めます。

方程式は ax + by = c の形、つまり未知数を左辺に、定数を右辺に書きます。方程式に y がないときは、その係数を0とします。例えば、方程式 x − y = −1 の場合に入力するのは a₂ = 1、b₂ = −1、c₂ = −1 です。

計算のしくみ

クラメルの公式によると、解は次のとおりです。

$x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}$

ここで、3つの行列式は次の式で表されます。

$D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, D_{x} = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}, D_{y} = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}$

最初に入力されている連立方程式は次のとおりです。

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y & = & 8 \\ x - y & = & - 1 \end{array}$

この連立方程式の行列式を計算します。D には未知数の係数を使います。D_x と D_y では、それぞれ x の係数の列と y の係数の列のかわりに右辺の数を入れます。

$D = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 5$

$D_{x} = 8 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3 = - 5$

$D_{y} = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 8 = - 10$

最後に割り算をします。

$x = \frac{- 5}{- 5} = 1, y = \frac{- 10}{- 5} = 2$

検算すると 2 · 1 + 3 · 2 = 8、1 − 2 = −1 となり、正しいことがわかります。

D = 0 になると割り算ができないので、連立方程式は解が無数にあるか、解をもたないかのどちらかです。図形でいえば、2本の直線が一致する場合と、平行な場合にあたります。手で解くときは、ふつう代入法か加減法を使います。どちらも記事連立方程式で説明しています。