Rechner: Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten sollen. Gesucht sind die x und y, für die beide Gleichungen stimmen. Der Rechner löst es mit der cramerschen Regel: Er berechnet drei Determinanten und dividiert sie.

Schreib die Gleichungen in der Form ax + by = c, die Unbekannten links und die Zahl rechts. Fehlt in einer Gleichung das y, schreib dort eine Null hin. Aus der Gleichung x − y = −1 übernimmst du in den Rechner a₂ = 1, b₂ = −1 und c₂ = −1.

So wird gerechnet

Nach der cramerschen Regel gilt

$x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}$

wobei

$D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, D_{x} = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}, D_{y} = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}$

Für das Ausgangssystem

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y & = & 8 \\ x - y & = & - 1 \end{array}$

berechnen wir die Determinanten. In D stehen die Koeffizienten der Unbekannten. In D_x und D_y ersetzen wir die Spalte bei x bzw. bei y durch die rechten Seiten:

$D = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 5$

$D_{x} = 8 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3 = - 5$

$D_{y} = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 8 = - 10$

Jetzt dividieren wir:

$x = \frac{- 5}{- 5} = 1, y = \frac{- 10}{- 5} = 2$

Probe: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 und 1 − 2 = −1. Stimmt.

Ist D = 0, kann man nicht dividieren, und das System hat entweder unendlich viele oder keine Lösung. Geometrisch sind das zwei Geraden, die zusammenfallen, oder zwei parallele Geraden. Von Hand löst man Systeme eher mit dem Einsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren; beide findest du im Artikel Gleichungssysteme.

Kapitel: Quadratische Gleichung, Lineare Gleichung, Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, Abstand zweier Punkte, Mittelpunkt der Strecke, Geradengleichung durch zwei Punkte, Zahlen runden, Wissenschaftliche Schreibweise, Gemischte Zahl und Bruch