Układ dwóch równań liniowych (kalkulator)

Układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych to dwa równania, które mają być prawdziwe jednocześnie. Szukamy takich x i y, aby oba były spełnione. Kalkulator liczy je wzorami Cramera: wylicza trzy wyznaczniki i dzieli je.

Równania zapisz w postaci ax + by = c, niewiadome po lewej, liczbę po prawej. Gdy w równaniu brakuje y, wpisz przy nim zero. Z równania x − y = −1 do kalkulatora wpisz a₂ = 1, b₂ = −1 i c₂ = −1.

Jak to się liczy

Według wzorów Cramera jest

$x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}$

gdzie

$D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, D_{x} = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}, D_{y} = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}$

Dla wyjściowego układu

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y & = & 8 \\ x - y & = & - 1 \end{array}$

liczymy wyznaczniki. Do D wchodzą współczynniki przy niewiadomych, a do D_x i D_y wstawiamy zamiast kolumny przy x, odpowiednio y, prawe strony:

$D = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 5$

$D_{x} = 8 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3 = - 5$

$D_{y} = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 8 = - 10$

I dzielimy:

$x = \frac{- 5}{- 5} = 1, y = \frac{- 10}{- 5} = 2$

Sprawdzenie: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 i 1 − 2 = −1. Zgadza się.

Gdy wyjdzie D = 0, nie da się dzielić i układ ma albo nieskończenie wiele rozwiązań, albo żadnego. Geometrycznie to dwie proste, które się pokrywają, albo dwie równoległe rozłączne. Ręcznie układy rozwiązuje się raczej metodą podstawiania lub metodą przeciwnych współczynników, obie znajdziesz w artykule Układy równań.

Rozdziały: Równanie kwadratowe, Równanie liniowe, Układ dwóch równań liniowych, Odległość między dwoma punktami, Środek odcinka, Równanie prostej przez dwa punkty, Zaokrąglanie liczb, Zapis wykładniczy liczby, Liczba mieszana i ułamek