Sistema de dos ecuaciones lineales (calculadora)

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones que tienen que cumplirse a la vez. Buscamos los valores de x e y que cumplan las dos. La calculadora los obtiene con la regla de Cramer: calcula tres determinantes y los divide.

Escribe las ecuaciones en la forma ax + by = c, con las incógnitas a la izquierda y el número a la derecha. Si en una ecuación falta y, escribe ahí un cero. Para la ecuación x − y = −1 hay que introducir en la calculadora a₂ = 1, b₂ = −1 y c₂ = −1.

Cómo se calcula

Según la regla de Cramer,

$$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}$$

donde

$$D=a_1{b}_2-a_2{b}_1,D_x=c_1{b}_2-c_2{b}_1,D_y=a_1{c}_2-a_2{c}_1$$

Para el sistema inicial

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 8\\ x-y& =& -1\end{array}$$

calculamos los determinantes. En D van los coeficientes de las incógnitas; en D_x y D_y se sustituye la columna de x o la de y, respectivamente, por los términos independientes:

$$D=2\cdot (-1)-1\cdot 3=-5$$

$$D_x=8\cdot (-1)-(-1)\cdot 3=-5$$

$$D_y=2\cdot (-1)-1\cdot 8=-10$$

Y dividimos:

$$x=\frac{-5}{-5}=1,y=\frac{-10}{-5}=2$$

Comprobación: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 y 1 − 2 = −1. Se cumplen las dos.

Si sale D = 0, no se puede dividir y el sistema tiene infinitas soluciones o ninguna. Geométricamente son dos rectas que coinciden o son paralelas. A mano, los sistemas suelen resolverse por sustitución o por reducción; los dos métodos están en el artículo Sistemas de ecuaciones.