Αριθμομηχανή: σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι δύο εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα. Ψάχνουμε τα x και y ώστε να ισχύουν και οι δύο. Η αριθμομηχανή τα υπολογίζει με τον κανόνα του Cramer: υπολογίζει τρεις ορίζουσες και τις διαιρεί.

Γράψε τις εξισώσεις στη μορφή ax + by = c, με τους αγνώστους αριστερά και τον αριθμό δεξιά. Όταν στην εξίσωση λείπει το y, γράψε ως συντελεστή του μηδέν. Από την εξίσωση x − y = −1 του συστήματος μπαίνουν στην αριθμομηχανή οι τιμές a₂ = 1, b₂ = −1 και c₂ = −1.

Πώς υπολογίζεται

Με τον κανόνα του Cramer είναι

$$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}$$

όπου

$$D=a_1{b}_2-a_2{b}_1,D_x=c_1{b}_2-c_2{b}_1,D_y=a_1{c}_2-a_2{c}_1$$

Για το αρχικό σύστημα

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 8\\ x-y& =& -1\end{array}$$

υπολογίζουμε τις ορίζουσες. Στην D μπαίνουν οι συντελεστές των αγνώστων, ενώ στις D_x και D_y αντικαθιστούμε τη στήλη του x, αντίστοιχα του y, με τα δεύτερα μέλη:

$$D=2\cdot (-1)-1\cdot 3=-5$$

$$D_x=8\cdot (-1)-(-1)\cdot 3=-5$$

$$D_y=2\cdot (-1)-1\cdot 8=-10$$

Και διαιρούμε:

$$x=\frac{-5}{-5}=1,y=\frac{-10}{-5}=2$$

Επαλήθευση: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 και 1 − 2 = −1. Επαληθεύεται.

Όταν βγει D = 0, δεν γίνεται διαίρεση και το σύστημα έχει είτε άπειρες λύσεις είτε καμία. Γεωμετρικά είναι δύο ευθείες που συμπίπτουν ή είναι παράλληλες. Με το χέρι τα συστήματα λύνονται συνήθως με τη μέθοδο της αντικατάστασης ή των αντίθετων συντελεστών. Και τις δύο θα τις βρεις στο άρθρο Συστήματα εξισώσεων.