Calculatrice : système de deux équations linéaires

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues, ce sont deux équations qui doivent être vraies en même temps. On cherche des x et y qui vérifient les deux. La calculatrice les trouve avec la règle de Cramer : elle calcule trois déterminants et les divise entre eux.

Écris les équations sous la forme ax + by = c, les inconnues à gauche et le nombre à droite. Si y manque dans une équation, écris zéro à sa place. Pour l’équation x − y = −1, saisis a₂ = 1, b₂ = −1 et c₂ = −1.

Comment on calcule

D’après la règle de Cramer, on a

$x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}$

où

$D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, D_{x} = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}, D_{y} = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}$

Pour le système de départ

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y & = & 8 \\ x - y & = & - 1 \end{array}$

on calcule les déterminants. Dans D on met les coefficients des inconnues ; dans D_x et D_y, on remplace respectivement la colonne de x ou celle de y par les membres de droite :

$D = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 5$

$D_{x} = 8 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3 = - 5$

$D_{y} = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 8 = - 10$

Et on divise :

$x = \frac{- 5}{- 5} = 1, y = \frac{- 10}{- 5} = 2$

Vérification : 2 · 1 + 3 · 2 = 8 et 1 − 2 = −1. C’est juste.

Quand D = 0, on ne peut pas diviser, et le système a soit une infinité de solutions, soit aucune. Géométriquement, ce sont deux droites confondues ou parallèles. À la main, on résout plutôt le système par substitution ou par combinaison linéaire ; les deux méthodes sont expliquées dans l’article Systèmes d’équations.

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