Beregner: ligningssystem med to lineære ligninger

Et system af to lineære ligninger med to ubekendte er to ligninger, som skal gælde samtidig. Vi leder efter de x og y, som opfylder begge. Beregneren finder dem med Cramers regel: den beregner tre determinanter og dividerer dem.

Skriv ligningerne på formen ax + by = c, med de ubekendte til venstre og et tal til højre. Hvis y mangler i en ligning, skal du skrive nul foran det. Ud fra systemet x − y = −1 skal du indtaste a₂ = 1, b₂ = −1 og c₂ = −1.

Sådan regner man

Ifølge Cramers regel er

$$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}$$

hvor

$$D=a_1{b}_2-a_2{b}_1,D_x=c_1{b}_2-c_2{b}_1,D_y=a_1{c}_2-a_2{c}_1$$

For standardsystemet

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 8\\ x-y& =& -1\end{array}$$

beregner vi determinanterne. I D indgår koefficienterne foran de ubekendte, og i D_x og D_y sætter vi højresiderne ind i stedet for søjlen med henholdsvis x og y:

$$D=2\cdot (-1)-1\cdot 3=-5$$

$$D_x=8\cdot (-1)-(-1)\cdot 3=-5$$

$$D_y=2\cdot (-1)-1\cdot 8=-10$$

Og så dividerer vi:

$$x=\frac{-5}{-5}=1,y=\frac{-10}{-5}=2$$

Prøve: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 og 1 − 2 = −1. Det passer.

Når D = 0, kan man ikke dividere, og systemet har enten uendeligt mange løsninger eller ingen. Geometrisk er det to linjer, der enten falder sammen eller er parallelle. I hånden løser man ligningssystemer oftest med substitutionsmetoden eller additionsmetoden, og dem finder du begge i artiklen Ligningssystemer.