Calcolatrice: sistema di due equazioni lineari

Un sistema di due equazioni lineari in due incognite è formato da due equazioni che devono valere insieme. Cerchiamo i valori di x e y che le soddisfano entrambe. La calcolatrice li trova con la regola di Cramer: calcola tre determinanti e li divide tra loro.

Scrivi le equazioni nella forma ax + by = c, con le incognite a sinistra e il numero a destra. Se in un’equazione manca la y, scrivi 0 come suo coefficiente. Per l’equazione x − y = −1 nella calcolatrice vanno inseriti a₂ = 1, b₂ = −1 e c₂ = −1.

Come si calcola

Secondo la regola di Cramer vale

$$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}$$

dove

$$D=a_1{b}_2-a_2{b}_1,D_x=c_1{b}_2-c_2{b}_1,D_y=a_1{c}_2-a_2{c}_1$$

Per il sistema di partenza

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 8\\ x-y& =& -1\end{array}$$

calcoliamo i determinanti. In D vanno i coefficienti delle incognite; in D_x e D_y al posto della colonna di x, rispettivamente di y, mettiamo i termini noti:

$$D=2\cdot (-1)-1\cdot 3=-5$$

$$D_x=8\cdot (-1)-(-1)\cdot 3=-5$$

$$D_y=2\cdot (-1)-1\cdot 8=-10$$

E dividiamo:

$$x=\frac{-5}{-5}=1,y=\frac{-10}{-5}=2$$

Verifica: 2 · 1 + 3 · 2 = 8 e 1 − 2 = −1. Torna.

Se risulta D = 0, non si può dividere e il sistema ha o infinite soluzioni o nessuna. Geometricamente sono due rette coincidenti oppure parallele. A mano i sistemi si risolvono di solito con il metodo di sostituzione o con quello di riduzione; entrambi sono spiegati nell’articolo Sistemi di equazioni.