運動の例題

物理は読むだけでは身につかず、計算してはじめて身につきます。ここでは運動の例題を13問、道のりと変位から始めて、加速度、自由落下を経て向心加速度まで並べました。最後の2問では、いくつかの種類の運動が入れかわります。どの問題も同じ手順で解きます。与えられた量を書き出し、単位を換算し、文字のまま式を解き、単位をつけて数値を代入し、見積もりで確かめ、答えを文で書きます。どの例題も、まず自分で解いてみてから解答を読みましょう。

例題1：さくらさんの犬の散歩

さくらさんは犬を連れて、1辺 120 m の正方形の公園のまわりを歩きます。公園の1つの角から出発し、3辺を歩きました。歩いた道のりと変位の大きさはそれぞれどれだけでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}s& =?(\mathrm{m})\\ |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

道のりは軌跡の長さ、つまり公園の3辺の長さです。

$$s=3\cdot 120\mathrm{m}=360\mathrm{m}$$

変位は、出発した場所から到着した場所へ向かう矢印です。正方形の3辺を歩くと、出発点ととなり合う角に着くので、変位は4つ目の辺に沿っています。

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=120\mathrm{m}$$

さくらさんは 360 m 歩きましたが、出発した場所からは 120 m しかはなれていません。公園を1周すれば、歩いた道のりは 480 m で、変位は0になります。

例題2：坂を上って下る

健太くんは、長さ 3 km の道を自転車で速さ 12 km/h で上って丘の上まで行き、同じ道を速さ 36 km/h で下ります。平均の速さはどれだけでしょうか。

解答： 2つの速さを足して2で割りたくなります。そうすると 24 km/h になります。しかし平均の速さは、全体の道のりを全体の時間で割ったもので、健太くんは上りに下りよりずっと長い時間をかけています。

$$\begin{array}{rl}{s}_1=s_2& =3\mathrm{km}\\ v_1& =12\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =36\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ \overline{v}& =?(\mathrm{km}/\mathrm{h})\end{array}$$

すべてキロメートルと時間で与えられているので、換算は必要ありません。走った時間は $t_1=\frac{s_1}{v_1}$ と $t_2=\frac{s_2}{v_2}$ なので、次の式が成り立ちます。

$$\overline{v}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}.$$

数値を代入します。

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{6\mathrm{km}}{\frac{3\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}+\frac{3\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}}\\ & =\frac{6\mathrm{km}}{0.25\mathrm{h}+\frac{1}{12}\mathrm{h}}=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

健太くんは上りに15分、下りに5分かかりました。全体で20分です。6 km を3分の1時間で進むなら、1時間では 18 km 進むことになります。健太くんの平均の速さは 24 km/h ではなく 18 km/h です。

例題3：山小屋から歩く花子さん

山小屋が、村から 4 km はなれた道ぞいにあります。花子さんは山小屋から、村から遠ざかる向きに一定の速さ 5 km/h で歩きます。1 時間 12 分後、花子さんは村からどれだけはなれているでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}{s}_0& =4\mathrm{km}\\ v& =5\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t& =1\mathrm{h}12\min =1.2\mathrm{h}\\ s& =?(\mathrm{km})\end{array}$$

換算に注意しましょう。12分は 0.12 h ではなく、$\frac{12}{60}=0.2\mathrm{h}$ です。花子さんは村からではなく、村から 4 km の所から歩き出すので、等速直線運動のときと同じように、進んだ道のりに初めの位置 s₀ を加えます。

$$s=s_0+v\cdot t=4\mathrm{km}+5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1.2\mathrm{h}=10\mathrm{km}$$

キロメートル毎時に時間をかけるとキロメートルになるので、単位も合っています。花子さんは1時間で 5 km 歩き、1.2 h ではその5分の1だけ多い 6 km 歩くので、山小屋までの距離を加えると10 kmです。花子さんは村から 10 km の所にいます。1.12 h を代入すると、9.6 km というまちがった答えになります。

例題4：お母さんに追いつく翔太くん

お母さんがベビーカーを押して、速さ 4 km/h で家を出ます。15分後、翔太くんはお母さんがかぎを忘れたことに気づき、同じ道を速さ 10 km/h で走って追いかけます。何分後に、家からどれだけはなれた所で追いつくでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =10\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t_0& =15\min =0.25\mathrm{h}\\ t& =?(\mathrm{h})\end{array}$$

15分後には、お母さんは s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0.25 h = 1 km 先にいます。追いつく問題では、2人の間の距離は速さの差の分ずつ縮まります。

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{s_0}{v_2-v_1}=\frac{1\mathrm{km}}{10\mathrm{km}/\mathrm{h}-4\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{1}{6}\mathrm{h}=10\min \end{array}$$

その間に翔太くんが走る道のりは次のとおりです。

$$s=v_2\cdot t=10\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot \frac{1}{6}\mathrm{h}\fallingdotseq 1.67\mathrm{km}.$$

検算：お母さんは 15 + 10 = 25 分、つまり $\frac{25}{60}$ 時間歩き、$4\cdot \frac{25}{60}\fallingdotseq 1.67\mathrm{km}$ 進みます。一致します。翔太くんは走り出してから10分後、家からおよそ 1.7 km の所でお母さんに追いつきます。

例題5：チーター

チーターは、静止した状態から 2.5 s で 72 km/h まで加速します。平均の加速度はどれだけでしょうか。また、そのあとこの速さから 4 s で止まるとき、加速度はどれだけでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =2.5\mathrm{s}\\ a& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

加速度の公式より、次のようになります。

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{20\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2.5\mathrm{s}}=8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

チーターの加速度は 8 m/s² で、1秒ごとに速さが 8 m/s ずつ増えます。時速100 kmまで10秒かかる乗用車の加速度は 3 m/s² 足らずなので、スタートではチーターが楽に勝ってしまいます。

止まるときは、速さが 4 s で 20 m/s から0まで下がります。

$$a=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

走る向きを正の向きとしたので、負の加速度はブレーキを表します。止まるときのチーターの加速度は −5 m/s²、つまり 5 m/s² の減速です。

例題6：飛行機に必要な滑走路の長さ

旅客機が離陸のとき、静止した状態から一定の加速度 2 m/s² で加速し、速さ 252 km/h で地面をはなれます。滑走路はどれだけの長さが必要で、加速にどれだけの時間がかかるでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =252\mathrm{km}/\mathrm{h}=70\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =?(\mathrm{m}),t=?(\mathrm{s})\end{array}$$

時間がわからないので、時間を含まない式 $v^2=v_0^2+2as$ が便利です。静止した状態から加速する場合について、この式を道のりについて解きます。

$$s=\frac{v^2}{2a}=\frac{(70\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{\mathrm{4,900}{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\mathrm{1,225}\mathrm{m}$$

加速にかかる時間は v = a · t から求めます。

$$t=\frac{v}{a}=\frac{70\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=35\mathrm{s}$$

平均の速さで検算しましょう。静止した状態からの加速では、平均の速さは最後の速さの半分の 35 m/s で、35 s では 35 m/s · 35 s = 1,225 m になります。飛行機の加速には 35 s かかり、滑走路は 1.2 km 以上必要です。そのため大きな空港の滑走路は、離陸を中止する場合の余裕も見こんで、数キロメートルの長さがあります。

例題7：ぬれた道路とシカ

運転手がぬれた道路を速さ 60 km/h で走っていると、前方 40 m の所にシカが見えました。反応時間は 1 s で、ぬれたアスファルトの上では車は 5 m/s² で減速します。車はシカの手前で止まれるでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}v& =60\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{60}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

途中の計算結果を丸めないように、速さは分数のままにしておきます。停止距離は空走距離と制動距離の和です。

$$s=s_r+s_b=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

それぞれ別々に代入します。

$$\begin{array}{rl}{s}_r& =\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}\fallingdotseq 16.7\mathrm{m}\\ s_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{250}{9}\mathrm{m}\fallingdotseq 27.8\mathrm{m}\end{array}$$

合わせて $\frac{400}{9}\mathrm{m}\fallingdotseq 44.4\mathrm{m}$ です。車はシカの手前では止まれず、シカのいる所からおよそ 4 m 先でようやく止まります。乾いた路面で減速が 7 m/s² なら 36.5 m で止まれるので、ぬれた路面ではスピードを落として走るほうがよいのです。

例題8：橋から落とした石

橋から石を落とすと、1.5 s 後に川に落ちました。橋は水面からどれだけの高さにあり、石はどれだけの速さで水面に当たるでしょうか。空気抵抗は無視します。また、高さが2倍の橋から落とすと、何秒かかるでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}t& =1.5\mathrm{s}\\ g& =9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

これは自由落下なので、下向きを正の向きにとります。

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1.5\mathrm{s}{)}^2\fallingdotseq 11\mathrm{m}$$

$$v=g\cdot t=9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1.5\mathrm{s}\fallingdotseq 14.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

これはおよそ 53 km/h です。$g\fallingdotseq 10{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$ として見積もると $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2.25\fallingdotseq 11\mathrm{m}$ で、合っています。橋は水面からおよそ 11 m の高さにあり、石はおよそ 15 m/s の速さで水面に当たります。

高さが2倍になっても、時間は2倍にはなりません。$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ からわかるように、高さが2倍になると落下時間は $\sqrt{2}$ 倍になるだけです。

$$t^{\prime }=\sqrt{2}\cdot 1.5\mathrm{s}\fallingdotseq 2.1\mathrm{s}$$

例題9：横風の中のドローン

ドローンが空気に対して速さ 12 m/s で、機首を真北に向けて飛んでいます。東風、つまり西向きに動く空気が速さ 5 m/s で吹いています。ドローンは地面に対してどれだけの速さで動き、北からどれだけの角度ずれるでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =12\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s}),\alpha =?\end{array}$$

ドローンは2つの運動を同時にしています。空気に対して飛ぶ運動と、空気に流される運動です。合成速度はこの2つの速度のベクトルの和で、2つの速度は垂直なので、三平方の定理を使います。

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(12\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(5\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =13\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

北からの角度は、速度がつくる直角三角形から求めます。風の速さが対辺、合成速度が斜辺です。

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v}=\frac{5}{13}\fallingdotseq 0.385,\alpha \fallingdotseq 22.6°$$

単純に足すと 17 m/s になりますが、2つの速度は同じ向きではありません。答えは 12 m/s より大きく 17 m/s より小さいはずで、13 m/s はその条件を満たしています。ドローンは地面に対して速さ 13 m/s で飛び、風によって北から西へおよそ 23° それます。1分間で横に 300 m 流されます。

例題10：観覧車

遊園地の観覧車は半径が 20 m で、1周するのに 4 min かかります。回転数（振動数）と角速度はどれだけで、外周のゴンドラはどれだけの速さで動くでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}r& =20\mathrm{m}\\ T& =4\min =240\mathrm{s}\\ f& =?(\mathrm{Hz}),\omega =?(\mathrm{rad}/\mathrm{s}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

回転数は周期の逆数です。

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.0042\mathrm{Hz}$$

角速度は、1周期あたり1回転の角 2π です。

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.026\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

ゴンドラの速さは次のとおりです。

$$v=\omega \cdot r=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 20\mathrm{m}}{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.52\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

ゴンドラは1周で観覧車の円周、およそ 126 m を4分かけて進みます。これはおよそ 1.9 km/h で、ゆっくり歩くくらいの速さです。そのため、大型の観覧車と同じように、回したままでもゴンドラに乗りこめるはずです。

例題11：パイロット訓練用の遠心機

パイロットの訓練に使う遠心機は、長さ 8 m のアームの先にカプセルがついています。カプセルの向心加速度を 6g、つまり重力加速度の6倍にするには、1分間に何回転させなければならないでしょうか。

解答：

$$\begin{array}{rl}r& =8\mathrm{m}\\ a_c& =6\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=58.86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ f& =?(\mathrm{Hz})\end{array}$$

向心加速度の式 a_c = ω² · r から、まず角速度を、次に回転数を求めます。

$$\begin{array}{rcl}{\omega }^2\cdot r& =& a_c/÷r\\ \omega & =& \sqrt{\frac{a_c}{r}}\\ f& =& \frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_c}{r}}\end{array}$$

単位は $\sqrt{\frac{{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}}=\frac{1}{\mathrm{s}}$ で、合っています。数値を代入します。

$$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{58.86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{8\mathrm{m}}}\fallingdotseq 0.43\mathrm{Hz}$$

1分間では $0.432\cdot 60\fallingdotseq 26$ 回転です。1回転はおよそ 2.3 s で、カプセルは速さ $v=\omega \cdot r\fallingdotseq 21.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$、80 km/h 近くで突き進みます。遠心機は1分間におよそ 26 回転させなければなりません。

例題12：駅と駅の間の地下鉄

地下鉄の電車が駅から加速度 1.2 m/s² で 15 s 間加速し、次に一定の速さで 30 s 間走り、最後に 1.5 m/s² で減速して次の駅に止まります。駅と駅の間の距離と、電車の平均の速さはどれだけでしょうか。

解答： 走行を3つの区間に分け、それぞれの区間で1種類の運動の式を使います。

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,t_1=15\mathrm{s}\\ t_2& =30\mathrm{s}\\ |a_3|& =1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m}),\overline{v}=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

加速は静止した状態からです。加速が終わったときの電車の速さは

$$v=a_1\cdot t_1=1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 15\mathrm{s}=18\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

で、進んだ道のりは次のとおりです。

$$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2=\frac{1}{2}\cdot 1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (15\mathrm{s}{)}^2=135\mathrm{m}.$$

一定の速さでの走行は、速さ 18 m/s、つまりおよそ 65 km/h です。

$$s_2=v\cdot t_2=18\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=540\mathrm{m}$$

減速は 18 m/s から止まるまでです。

$$\begin{array}{rl}{t}_3& =\frac{v}{|a_3|}=\frac{18\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=12\mathrm{s}\\ s_3& =\frac{v^2}{2\cdot |a_3|}=\frac{(18\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=108\mathrm{m}\end{array}$$

全体では次のようになります。

$$\begin{array}{rl}s& =135\mathrm{m}+540\mathrm{m}+108\mathrm{m}=783\mathrm{m}\\ t& =15\mathrm{s}+30\mathrm{s}+12\mathrm{s}=57\mathrm{s}\\ \overline{v}& =\frac{s}{t}=\frac{783\mathrm{m}}{57\mathrm{s}}\fallingdotseq 13.7\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

駅と駅の間はおよそ 780 m で、電車は1分足らずの間に、平均の速さおよそ 49 km/h でその距離を走ります。最高の 65 km/h で走るのは全体のおよそ半分の時間だけなので、平均の速さはそれよりかなり小さくなります。駅の間隔が1 kmくらいというのは、都市の地下鉄ではふつうです。

例題13：グラフの読み取り

グラフは、大輝くんの電動キックボードの速さを12秒間記録したものです。それぞれの区間でキックボードの加速度はどれだけで、全体で進んだ道のりと平均の速さはどれだけでしょうか。

解答： 運動の種類が変わる点での速さをグラフから読み取ります。はじめは 4 m/s、時刻 4 s では 8 m/s、時刻 10 s でもまだ 8 m/s、時刻 12 s では0です。加速度は、速さの変化をかかった時間で割ったものです。

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =\frac{8\mathrm{m}/\mathrm{s}-4\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_2& =0{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_3& =\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{s}}=-4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

これは計算しなくてもグラフからわかります。グラフの傾きが急な区間ほど、加速度の大きさは大きくなります。右上がりの区間は正の加速度、水平な区間は加速度0、右下がりの区間は負の加速度を表します。3つ目の区間では、キックボードの加速度は −4 m/s²、つまり 4 m/s² の減速です。

道のりは速さのグラフの下の面積です。1つ目の区間は台形、2つ目は長方形、3つ目は三角形になります。

$$\begin{array}{rl}{s}_1& =\frac{4\mathrm{m}/\mathrm{s}+8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2}\cdot 4\mathrm{s}=24\mathrm{m}\\ s_2& =8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 6\mathrm{s}=48\mathrm{m}\\ s_3& =\frac{1}{2}\cdot 8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{s}=8\mathrm{m}\end{array}$$

12 s で合わせて s = 80 m 進むので、平均の速さは次のとおりです。

$$\overline{v}=\frac{s}{t}=\frac{80\mathrm{m}}{12\mathrm{s}}\fallingdotseq 6.7\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

検算：平均の速さは0と最高の速さ 8 m/s の間にあるはずで、キックボードはほとんどの時間を8 m/sで走っているので、8 m/sに近くなるはずです。キックボードの加速度は順に 1 m/s²、0、−4 m/s² で、進んだ道のりは 80 m、平均の速さはおよそ 6.7 m/s、時速にして 24 km/h です。

力が出てくる問題も、同じ手順で解くことができます。そのような問題は記事力と運動の例題にあります。