Opgaven kinematica met uitwerkingen

Natuurkunde leer je niet door te lezen, maar door te rekenen. Hierna volgen dertien opgaven over beweging, gerangschikt van afgelegde weg en verplaatsing via versnelling en vrije val tot en met middelpuntzoekende versnelling. In de laatste twee wisselen de soorten bewegingen elkaar af. We lossen ze allemaal op met dezelfde aanpak: gegevens noteren, eenheden omrekenen, algemene oplossing, invullen met eenheden, schatting en antwoord in een hele zin. Probeer elke opgave eerst zelf uit te rekenen en lees de uitwerking pas daarna.

Opgave 1: Fleur laat de hond uit

Fleur loopt met haar hond rond een vierkant park met zijden van 120 m. Ze begint in één hoek en loopt drie zijden van het park af. Welke weg legt ze af en hoe groot is haar verplaatsing?

Uitwerking:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

De afgelegde weg is de lengte van de baan, dus van drie zijden van het park:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

De verplaatsing is de pijl van de plek van de start naar de plek waar ze eindigde. Na drie zijden van het vierkant staat ze in de hoek die grenst aan de beginhoek, dus de verplaatsing loopt langs de vierde zijde:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Fleur heeft 360 m gelopen, maar is maar 120 m verwijderd van de plek waar ze begon. Als ze het hele park was rondgelopen, zou ze 480 m hebben afgelegd en zou de verplaatsing nul zijn.

Opgave 2: Heuvel op en heuvel af

Mark fietst een heuvel op over een weg van 3 km lang met 12 km/h en rijdt dezelfde weg met 36 km/h weer af. Wat is zijn gemiddelde snelheid?

Uitwerking: Het is verleidelijk de snelheden op te tellen en door twee te delen, er zou 24 km/h uitkomen. Maar de gemiddelde snelheid is de totale afgelegde weg gedeeld door de totale tijd en omhoog doet Mark veel langer over dan omlaag.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{gem} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Alles is in kilometer en uren, omrekenen is niet nodig. De rijtijden zijn $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ en $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , dus

$v_{gem} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

We vullen in:

$\begin{aligned} v_{gem} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Omhoog reed Mark een kwartier, omlaag vijf minuten. De hele route deed hij in twintig minuten, en wie 6 km in een derde uur aflegt, zou in een uur 18 km afleggen. Gemiddeld reed Mark 18 km/h, niet 24 km/h.

Opgave 3: Hanna loopt bij de hut vandaan

Een wandelhut staat langs de weg 4 km voorbij het dorp. Hanna loopt vanaf de hut verder van het dorp af met een constante snelheid van 5 km/h. Hoe ver van het dorp is ze na 1 uur en 12 minuten?

Uitwerking:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Let op bij het omrekenen. Twaalf minuten is niet 0,12 h, maar $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hanna vertrekt niet vanaf het dorp, maar 4 km ervandaan, daarom tellen we bij de afgelegde weg de beginafstand s₀ op, net als bij eenparige rechtlijnige beweging:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer per uur keer uren geeft kilometer, klopt. In een uur loopt Hanna 5 km, in 1,2 h een vijfde meer, dus 6 km, en met de hut erbij is dat tien. Hanna is 10 km van het dorp. Wie 1,12 h zou invullen, kreeg 9,6 km.

Opgave 4: Jacob haalt zijn moeder in

Mama vertrekt met een kinderwagen van huis met 4 km/h. Na een kwartier merkt Jacob dat ze haar sleutels is vergeten en rent haar langs dezelfde weg achterna met 10 km/h. Hoe lang duurt het voor hij haar inhaalt en hoe ver van huis?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Mama heeft na een kwartier een voorsprong s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Bij inhalen wordt de afstand kleiner met het verschil van de snelheden:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

In die tijd rent Jacob

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Controle: mama loopt 15 + 10 = 25 minuten, dus $\frac{25}{60}$ uur, en legt $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ af. Klopt. Jacob haalt mama tien minuten na zijn vertrek in, ongeveer 1,7 km van huis.

Opgave 5: Het jachtluipaard

Een jachtluipaard versnelt uit stilstand tot 72 km/h in 2,5 s. Welke gemiddelde versnelling heeft het? En welke versnelling heeft het daarna als het vanaf die snelheid in 4 s tot stilstand komt?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Volgens de formule voor versnelling:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Het jachtluipaard heeft een versnelling van 8 m/s², elke seconde is het 8 m/s sneller. Een gezinsauto waarvoor nul naar honderd tien seconden duurt, heeft nog geen 3 m/s², dus het jachtluipaard zou hem bij de start moeiteloos verslaan.

Bij het stoppen daalt de snelheid van 20 m/s naar nul in 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

De positieve richting nemen we in de looprichting, een negatieve versnelling betekent dus remmen. Bij het stoppen heeft het jachtluipaard een versnelling van −5 m/s², oftewel een vertraging van 5 m/s².

Opgave 6: Hoe lang moet de startbaan zijn

Een passagiersvliegtuig trekt bij de start uit stilstand op met een constante versnelling van 2 m/s² en komt los van de grond bij een snelheid van 252 km/h. Hoeveel meter startbaan heeft het nodig en hoe lang duurt het optrekken?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

De tijd kennen we niet, dus het verband zonder tijd $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ komt van pas. Voor optrekken uit stilstand halen we daaruit de afgelegde weg:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

De optrektijd berekenen we uit v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Controle met de gemiddelde snelheid: die is bij optrekken uit stilstand de helft van de eindsnelheid, 35 m/s, en in 35 s geeft dat 35 m/s · 35 s = 1225 m. Het vliegtuig trekt 35 s op en heeft meer dan 1,2 km startbaan nodig. Daarom hebben grote luchthavens start- en landingsbanen van enkele kilometers lang, met marge voor een afgebroken start.

Opgave 7: Een ree op een nat wegdek

Een bestuurder rijdt op een nat wegdek met 60 km/h en ziet 40 m voor zich een ree. De reactie duurt 1 s, op nat asfalt remt de auto met een vertraging van 5 m/s². Komt hij op tijd tot stilstand?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

De snelheid laten we een breuk, zodat we tussenresultaten niet afronden. De totale afgelegde weg is reactieafstand plus remweg:

$s = s_{r} + s_{rem} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

We vullen elk deel apart in:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{rem} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

In totaal is het $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . De auto komt niet op tijd tot stilstand, hij zou pas ongeveer 4 m voorbij de plek waar de ree staat tot stilstand komen. Op een droge weg met een vertraging van 7 m/s² zou hij genoeg hebben aan 36,5 m, op een nat wegdek loont het dus langzamer te rijden.

Opgave 8: Een steen van een brug

Van een brug laten we een steen vallen die na 1,5 s in de rivier terechtkomt. Hoe hoog is de brug boven het water en met welke snelheid komt de steen neer? De luchtweerstand verwaarlozen we. Hoe lang zou hij vallen van een twee keer zo hoge brug?

Uitwerking:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Het is vrije val, de positieve richting kiezen we omlaag:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Dat is ongeveer 53 km/h. Een schatting met g ≈ 10 m/s² geeft $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , klopt. De brug is ongeveer 11 m boven het water en de steen komt neer met een snelheid van ongeveer 15 m/s.

Een dubbele hoogte betekent geen dubbele tijd. Uit $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ is te zien dat een dubbele hoogte de valtijd maar $\sqrt{2}$ keer verlengt:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Opgave 9: Een drone in zijwind

Een drone vliegt ten opzichte van de lucht met 12 m/s en heeft zijn neus precies naar het noorden gericht. Er waait een oostenwind, dus de lucht beweegt naar het westen, met 5 m/s. Hoe snel beweegt de drone ten opzichte van de grond en over welke hoek wijkt hij af van het noorden?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

De drone voert twee bewegingen uit: hij vliegt ten opzichte van de lucht en de lucht voert hem mee. De resulterende snelheid is hun vectorsom, en omdat beide snelheden loodrecht op elkaar staan, gebruiken we de stelling van Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

De hoek met het noorden vinden we uit de rechthoekige driehoek van snelheden, waarin de windsnelheid de overstaande rechthoekszijde is en de resulterende snelheid de schuine zijde:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Gewoon optellen zou 17 m/s geven, maar de snelheden hebben niet dezelfde richting. Het resultaat moet groter zijn dan 12 m/s en kleiner dan 17 m/s, en dat is 13 m/s ook. De drone vliegt ten opzichte van de grond met 13 m/s en de wind doet hem ongeveer 23° van het noorden naar het westen afwijken. In een minuut drijft hij 300 m opzij af.

Opgave 10: Het reuzenrad

Een reuzenrad op de kermis heeft een straal van 20 m en één omwenteling duurt 4 min. Wat zijn de frequentie en de hoeksnelheid en met welke snelheid rijdt een gondel aan de buitenkant?

Uitwerking:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

De frequentie is het omgekeerde van de omlooptijd:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

De hoeksnelheid geeft de volle hoek 2π per omlooptijd:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

De snelheid van de gondel:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

De gondel legt in één omwenteling de omtrek van het rad af, ongeveer 126 m, in vier minuten. Dat is ongeveer 1,9 km/h, een rustige wandeling. Je zou dus ook tijdens het draaien in de gondel kunnen stappen, zoals bij grote uitkijkraderen.

Opgave 11: Een centrifuge voor piloten

Een trainingscentrifuge voor piloten heeft een cabine aan een arm van 8 m lang. Hoeveel keer per minuut moet hij draaien om de cabine een middelpuntzoekende versnelling van 6g te geven, dus zes keer zo groot als de valversnelling?

Uitwerking:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{mpz} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Uit de formule voor middelpuntzoekende versnelling a_mpz = ω² · r halen we eerst de hoeksnelheid, dan de frequentie:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{mpz} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{mpz}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{mpz}}{r}} \end{array}$

Eenheden: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , klopt. We vullen in:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Per minuut is dat 0,432 · 60 ≈ 26 omwentelingen. Eén omwenteling duurt ongeveer 2,3 s en de cabine raast met een snelheid van v = ω · r ≈ 21,7 m/s, bijna 80 km/h. De centrifuge moet ongeveer 26 keer per minuut draaien.

Opgave 12: De metro tussen twee stations

Een metrostel trekt van een station op met een versnelling van 1,2 m/s² gedurende 15 s, rijdt dan 30 s met constante snelheid en remt ten slotte met een vertraging van 1,5 m/s² tot het in het volgende station stilstaat. Hoe ver liggen de stations uit elkaar en wat is de gemiddelde snelheid van het stel?

Uitwerking: We verdelen de rit in drie stukken en gebruiken in elk de formules voor één soort beweging.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{gem} = ? (m / s) \end{aligned}$

Optrekken uit stilstand. Aan het einde heeft het stel een snelheid van

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

en het heeft de volgende weg afgelegd:

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Rijden met constante snelheid 18 m/s, dus ongeveer 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Remmen van 18 m/s tot stilstand:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

In totaal:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{gem} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

De stations liggen ongeveer 780 m uit elkaar, het stel legt die af in minder dan een minuut met een gemiddelde snelheid van ongeveer 49 km/h. De hoogste 65 km/h rijdt het maar ongeveer de helft van de tijd, daarom is het gemiddelde merkbaar lager. Een afstand van rond een kilometer is gebruikelijk voor een stadsmetro.

Opgave 13: Aflezen uit een grafiek

De grafiek toont de snelheid van Finns elektrische step gedurende twaalf seconden. Welke versnelling had de step in de afzonderlijke stukken, welke weg legde hij in totaal af en wat was zijn gemiddelde snelheid?

Grafiek van de snelheid v tegen de tijd t: van 0 tot 4 s stijgt ze van 4 naar 8 m/s, van 4 tot 10 s is ze constant, van 10 tot 12 s daalt ze naar nul

Uitwerking: Uit de grafiek lezen we de snelheid af in de punten waar de soort beweging verandert: aan het begin 4 m/s, op tijdstip 4 s al 8 m/s, op tijdstip 10 s nog steeds 8 m/s en op tijdstip 12 s nul. De versnelling is de verandering van de snelheid gedeeld door de tijd:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Dat is ook zonder rekenen op de grafiek te zien: hoe steiler het stuk, hoe groter de grootte van de versnelling. Een stijgend stuk betekent positieve versnelling, een horizontaal stuk nul en een dalend negatieve: in het derde stuk heeft de step een versnelling van −4 m/s², oftewel een vertraging van 4 m/s².

De afgelegde weg is de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek. Het eerste stuk vormt een trapezium, het tweede een rechthoek en het derde een driehoek:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

In totaal s = 80 m in 12 s, de gemiddelde snelheid is

$v_{gem} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Controle: de gemiddelde snelheid moet tussen nul en de hoogste snelheid van 8 m/s liggen, en omdat de step het grootste deel van de tijd acht reed, zal ze dichter bij acht liggen. De step had achtereenvolgens een versnelling van 1 m/s², nul en −4 m/s², legde 80 m af en reed gemiddeld ongeveer 6,7 m/s, dus 24 km/h.

Op dezelfde manier kun je ook opgaven oplossen waarin krachten voorkomen. Die vind je in het artikel Opgaven dynamica met uitwerkingen.

« Vorige: Schijnkrachten

Volgende: Opgaven dynamica met uitwerkingen »