向心加速度

車が環状交差点を回っていて、スピードメーターの針はまったく動きません。運転手はアクセルもブレーキも踏んでいないのに、それでも車には加速度があります。加速度が表すのは、スピードメーターの数値の変化ではなく、速度の矢印全体の変化だからです。そしてカーブでは、その矢印の向きが変わっていきます。等速円運動では、加速度はいつも円の中心を向いています。そのため、この加速度を向心加速度といいます。

公式だけを知りたいなら、半径 r の円の上を速さ v で回る物体の向心加速度は次のとおりです。

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

ここで ω は角速度です。この加速度がどこを向くのか、公式がどこから来るのかを、図を使って見ていきましょう。

向きを変え続ける速度の矢印

加速度は、単位時間あたりに速度がどれだけ変わるかを表します。ただし、速度はベクトル、つまり矢印で、矢印の変わり方には2通りあります。長くなるか短くなるか、または向きが変わるかです。直線上を進むときは、矢印はのびたり縮んだりするだけで、これは発進とブレーキにあたります。円の上ではまったく逆です。物体はずっと同じ速さで進むので矢印の長さは変わりませんが、矢印は円の接線の向きを向くので、弧を少し進むたびに少しずつ向きを変えます。矢印の向きが変わることも速度の変化であり、したがって加速度があります。

速さが変わらないのだから等速円運動には加速度がない、と考えるのはよくある誤りです。変わらないのは速度の大きさだけです。加速度が0なら、速度の矢印は長さも向きもまったく変わってはいけないので、物体はまっすぐ進むはずです。加速度なしに曲がることはできません。

アニメーションは、円の上を一定の速さで回る点を示しています。赤い速度の矢印は点とともに向きを変え、緑の加速度の矢印はどの瞬間にも中心を向いています。

緑の矢印は、赤い矢印にいつも垂直です。そのため加速度には進行方向の成分も、その逆向きの成分もなく、速さは変わりません。加速度はすべて矢印の向きを変えることに使われます。なぜ加速度が中心を向き、どれだけの大きさなのかは、図からわかります。

向心加速度の大きさ

短い時間 Δt の間だけ点を観察しましょう。その間に点は位置 A から位置 B へ移り、次の道のりを進みます。

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

図には、この短い運動が2回かかれています。左は位置の青い三角形で、頂点は円の中心と点 A、B です。2辺は半径 r、残りの1辺は線分 AB です。短い時間なら弧はほとんどまっすぐなので、線分 AB の長さは実質的に Δs です。右は速度の緑の三角形で、2本の速度の矢印を1点からかき、その差 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ を ${\overrightarrow{v}}_1$ の先端から ${\overrightarrow{v}}_2$ の先端へ向けてかいたものです。2本の速度の矢印の長さはどちらも v です。

見やすくするため角を大きくかいていますが、実際にはとても小さい角だと考えてください。大切なのは、二つの三角形の頂点の角がどちらも同じ φ になっていることです。速度の矢印はいつも半径に垂直なので、半径が角 φ だけ回れば、速度の矢印も同じ角だけ回ります。半径と矢印はL字の2本の線のようにつながっていて、一方の線を回せばL字全体が回ります。二つの三角形はどちらも二等辺三角形で、等しい2辺の間の角が同じです。そのため形が同じで大きさだけがちがう、つまり相似です。相似な三角形では、底辺と等しい辺の長さの比が等しくなります。

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

言葉でいえば、緑の矢印が速度の矢印より短い割合は、線分 AB が半径より短い割合と同じです。Δs に v · Δt を代入して、式を変形します。

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/÷\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

左辺は単位時間あたりの速度の変化、つまり加速度です。

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

線分 AB は弧よりほんのわずか短いので、少しごまかしました。しかし観察する時間を短くするほど線分は弧に近づき、瞬間の加速度を求めるときはその差がわからないほど短い時間をとります。そのため、この公式は正確に成り立ちます。

図からは向きもわかります。緑の矢印 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ は、線分 AB の中点と円の中心を結ぶ線と同じく、下を向いています。角が小さければ、この矢印は2本の速度の矢印のどちらにもほぼ垂直です。そして接線に垂直な線は半径です。こうして速度の変化も、それとともに加速度も、中心を向きます。

単位も合っています。

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

公式のふるまいも納得できます。物体が速く進むほど、速度の矢印は長くなり、向きも速く変わります。どちらも加速度を大きくするので、公式では速さが2乗になっています。半径が大きくなると円はまっすぐに近づき、加速度は小さくなります。半径がとても大きければ、円の一部はほとんど直線で、加速度はほとんど0です。一定の速さでまっすぐ進むなら、当然そうなるはずです。

速さを v = ω · r で置きかえると、公式のもう一つの形が得られます。

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

ここはつまずきやすいところです。一つ目の形では半径が分母に、二つ目の形では分子にあります。加速度は半径とともに大きくなるのでしょうか、小さくなるのでしょうか。どちらも正しく、それぞれ変わらないものがちがうのです。速さが同じなら、大きなカーブほどゆるやかで、加速度は小さくなります。角速度が同じなら、例えばメリーゴーラウンドでは、外側の木馬は中心近くの木馬より速さが大きく、そのぶん加速度も大きくなります。

環状交差点の4分の1

環状交差点に戻りましょう。車は 54 km/h、つまり 15 m/s で走り、環状交差点の4分の1を 3 s で回ります。4分の1周の初めと終わりの速度の矢印からは、中心向きにおよそ 7.1 m/s² の平均の加速度が求められました。では、各瞬間の加速度はどれだけでしょうか。

半径が必要です。3 s の間に車は 15 m/s · 3 s = 45 m 進み、これが円周の4分の1です。

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\fallingdotseq 28.6\mathrm{m}\end{array}$$

これを公式に代入します。途中で四捨五入しないように半径は分数のままにしておきます。分数で割るときは、その逆数をかけます。

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\fallingdotseq 7.85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

瞬間の加速度は 7.85 m/s² で、平均の 7.1 m/s² より大きくなります。これは乾いたアスファルトで車が急ブレーキをかけたときとほぼ同じなので、この小さな環状交差点は 54 km/h で回るには本当に急なカーブです。加速度の大きさがずっと同じなのに、なぜ数値がちがうのでしょうか。平均の加速度は、最初と最後の速度の矢印とその差だけから求めます。4分の1周の間のすべての速度の矢印を、1点から引いたところを想像してください。矢印の先端は、半径 15 m/s の円の4分の1をえがきます。瞬間の加速度は、先端がこの弧の上をどれだけ速く進むかを表します。平均の加速度は、最初と最後の先端を結ぶまっすぐな線分だけを使い、その線分は弧より短くなります。変位と道のりのちがいと同じで、まっすぐ行くほうがいつも近いのです。

数値を確かめてみましょう。弧は半径 15 m/s の円の円周の4分の1で、$\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 23.6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ です。先端どうしを結ぶ線分は、直角をはさむ2辺が 15 m/s の直角三角形の斜辺で、21.2 m/s です。どちらも3秒で割ります。

$$\frac{23.6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\fallingdotseq 7.85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21.2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\fallingdotseq 7.1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

一つ目は公式から求めた瞬間の加速度、二つ目は平均の加速度です。環状交差点の区間を短くするほど弧と線分は重なっていき、平均の加速度は瞬間の加速度に近づきます。

カーブを曲がる車

今度は車が同じ 54 km/h で、半径 50 m のもっと大きなカーブを曲がります。加速度はどれだけでしょうか。わかっている量を書き出し、速さはすぐにメートル毎秒に換算しておきます。

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

公式に代入します。

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

環状交差点と比べて加速度はほぼ半分で、大きなカーブのほうがゆるやかです。ただし速さには注意しましょう。公式では速さが2乗になっています。同じカーブに2倍の速さで入ると加速度は4倍の 18 m/s² になり、道路を走る車にはもう無理です。ブレーキはカーブの中ではなく、カーブの手前でかけるのはこのためです。加速度 4.5 m/s² もけっしてばかにできず、しっかりブレーキをかけたときと同じくらいです。ただ、横を向いているだけです。

太陽のまわりを回る地球

地球は、太陽からおよそ 1.5 · 10¹¹ m の距離を、およそ 30 km/s、つまり 3 · 10⁴ m/s の速さで回っています。この速さは確かめられます。1周にかかるのは1年、およそ 3.16 · 10⁷ s なので、次のようになります。

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1.5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3.16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\fallingdotseq \mathrm{30,000}\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

地球の軌道は正確には円ではありませんが、とても円に近いので、公式に代入できます。

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1.5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1.5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

わずか 0.006 m/s² です。速度の矢印は1秒ごとにたった秒速6ミリメートルしか変わらず、秒速30キロメートルの速さに比べればないも同然です。地球は1秒間に 30 km 進みますが、その間に直線からずれるのは $\frac{1}{2}\cdot 0.006{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ だけです。それでも1年は3,000万秒以上あるので、1年の間に速度の矢印は1回転し、地球の軌道は閉じるのです。

洗濯機の脱水

半径 0.25 m の洗濯機のドラムは、1,200 rpm で脱水するとき、角速度 40π rad/s で回ります。ここでは公式の二つ目の形が役に立ちます。

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0.25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\fallingdotseq \mathrm{3,950}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

ラジアンはただの数なので、単位にはメートル毎秒毎秒が残ります。加速度は重力加速度 g の400倍以上、つまり 400g 以上です。ドラムの壁の速さ 31.4 m/s と公式 $\frac{v^2}{r}$ で確かめても、同じ結果になります。

公式では角速度が2乗になっています。800 rpm でしか脱水しない洗濯機は回転が3分の1遅いだけですが、加速度は半分より小さくなります。${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ なので、およそ 1,750 m/s² です。低い回転数で脱水した洗濯物が目に見えて湿っぽいのはこのためです。

これは洗濯物にとって何を意味するのでしょうか。水滴がドラムと一緒に回るには、とても大きな加速度で曲がり続けなければなりません。靴下はドラムの壁が円の上にとどめてくれますが、壁には穴があいています。穴の上に来た水滴には、向きを変えさせるものがもう何もありません。水滴は曲がるのをやめ、接線に沿ってまっすぐ進み、ドラムの外へ出ていきます。靴下は中に残り、水は外に出ます。物体を曲がらせるものが何なのかは、力の問題です。運動の様子だけを調べてわかったのは、そのように曲がるのに必要な加速度の大きさで、洗濯機ではそれが本当に大きいのです。

これで運動の様子は表せましたが、その原因はまだです。物体が動き出し、止まり、曲がる理由は力で説明できます。この分野の後半は、記事力から始まります。