Задачи по кинематика с решения

Физиката не се учи с четене, а само с пресмятане. Следват тринайсет задачи за движение, подредени от път и преместване през ускорение и свободно падане до центростремително ускорение. В последните две видовете движения се редуват. Всички решаваме с един и същ подход: запис, преобразуване на мерните единици, общо решение, заместване с мерните единици, оценка и отговор с цяло изречение. Всяка задача първо опитай да пресметнеш сам, решението чети едва след това.

Задача 1: Калина разхожда куче

Калина обикаля с кучето си квадратен парк със страна 120 m. Тръгва от един ъгъл и обикаля три страни на парка. Какъв път изминава и колко голямо е преместването ѝ?

Решение:

$$\begin{array}{rl}s& =?(\mathrm{m})\\ |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Пътят е дължината на траекторията, тоест на трите страни на парка:

$$s=3\cdot 120\mathrm{m}=360\mathrm{m}$$

Преместването е стрелката от мястото на старта до мястото, където е свършила. След три страни на квадрата стои в ъгъла, който е съседен на началния, така че преместването върви по четвъртата страна:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=120\mathrm{m}$$

Калина е извървяла 360 m, но от мястото, откъдето е тръгнала, е само на 120 m. Ако беше обиколила целия парк, щеше да извърви 480 m и преместването щеше да е нула.

Задача 2: Нагоре и надолу по хълма

Марко се изкачва с колело на хълм по път, дълъг 3 km, със скорост 12 km/h и по същия път слиза надолу със скорост 36 km/h. Каква е средната му скорост?

Решение: Примамливо е да съберем скоростите и да разделим на две, би излязло 24 km/h. Но средната скорост е целият път, разделен на цялото време, а нагоре Марко се движи много по-дълго, отколкото надолу.

$$\begin{array}{rl}{s}_1=s_2& =3\mathrm{km}\\ v_1& =12\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =36\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}& =?(\mathrm{km}/\mathrm{h})\end{array}$$

Всичко е в километри и часове, преобразуване не е нужно. Времената на движение са $t_1=\frac{s_1}{v_1}$ и $t_2=\frac{s_2}{v_2}$, така че

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}.$$

Заместваме:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}}& =\frac{6\mathrm{km}}{\frac{3\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}+\frac{3\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}}\\ & =\frac{6\mathrm{km}}{0,25\mathrm{h}+\frac{1}{12}\mathrm{h}}=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Нагоре Марко се е движил четвърт час, надолу пет минути. Целия маршрут е минал за двайсет минути и който измине 6 km за една трета от часа, би изминал за час 18 km. Средно Марко се е движил с 18 km/h, а не с 24 km/h.

Задача 3: Ана тръгва от хижата

Туристическа хижа стои до пътя на 4 km след селото. Ана продължава оттам нататък, далеч от селото, с постоянна скорост 5 km/h. На какво разстояние от селото ще бъде след 1 час и 12 минути?

Решение:

$$\begin{array}{rl}{s}_0& =4\mathrm{km}\\ v& =5\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t& =1\mathrm{h}12\min =1,2\mathrm{h}\\ s& =?(\mathrm{km})\end{array}$$

Внимавай с преобразуването. Дванайсет минути не са 0,12 h, а $\frac{12}{60}=0,2\mathrm{h}$. Ана не тръгва от селото, а от точка на 4 km от него, затова към изминатия път прибавяме началния път s₀ както при равномерното праволинейно движение:

$$s=s_0+v\cdot t=4\mathrm{km}+5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1,2\mathrm{h}=10\mathrm{km}$$

Километри в час по часове дават километри, вярно е. За час Ана изминава 5 km, за 1,2 h с една пета повече, тоест 6 km, и с хижата са десет. Ана ще бъде на 10 km от селото. Който би заместил 1,12 h, би получил 9,6 km.

Задача 4: Яков настига майка си

Майка излиза с количка от къщи със скорост 4 km/h. След четвърт час Яков установява, че е забравила ключовете, и тръгва след нея по същия път със скорост 10 km/h. След колко време ще я настигне и на какво разстояние от къщата?

Решение:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =10\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t_0& =15\min =0,25\mathrm{h}\\ t& =?(\mathrm{h})\end{array}$$

Майката има след четвърт час преднина s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. При настигане разстоянието се намалява с разликата на скоростите:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{s_0}{v_2-v_1}=\frac{1\mathrm{km}}{10\mathrm{km}/\mathrm{h}-4\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{1}{6}\mathrm{h}=10\min \end{array}$$

През това време Яков пробягва

$$s=v_2\cdot t=10\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot \frac{1}{6}\mathrm{h}\approx 1,67\mathrm{km}.$$

Проверка: майката върви 15 + 10 = 25 минути, тоест $\frac{25}{60}$ от часа, и изминава $4\cdot \frac{25}{60}\approx 1,67\mathrm{km}$. Вярно е. Яков настига майка си десет минути след тръгването, на около 1,7 km от къщата.

Задача 5: Гепард

Гепард ускорява от покой до 72 km/h за 2,5 s. Какво е средното му ускорение? И какво ускорение има после, когато от тази скорост спира за 4 s?

Решение:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =2,5\mathrm{s}\\ a& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

По формулата за ускорението:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{20\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2,5\mathrm{s}}=8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Гепардът има ускорение 8 m/s², всяка секунда е с 8 m/s по-бърз. Семейна кола, която стига до сто за десет секунди, има по-малко от 3 m/s², така че гепардът би я победил на старта с лекота.

При спирането скоростта спада от 20 m/s до нула за 4 s:

$$a=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Положителната посока вземаме по посоката на бягане, отрицателното ускорение затова означава спиране. При спирането гепардът има ускорение −5 m/s², тоест забавяне 5 m/s².

Задача 6: Колко писта му трябва на самолета

Пътнически самолет при старта потегля от покой с постоянно ускорение 2 m/s² и се отлепва от земята при скорост 252 km/h. Колко дълъг участък от пистата му трябва и колко време ускорява?

Решение:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =252\mathrm{km}/\mathrm{h}=70\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =?(\mathrm{m}),t=?(\mathrm{s})\end{array}$$

Не знаем времето, затова ни върши работа зависимостта без време $v^2=v_0^2+2as$. За потегляне от покой от нея изразяваме пътя:

$$s=\frac{v^2}{2a}=\frac{(70\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{4900{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=1225\mathrm{m}$$

Времето на ускоряване изчисляваме от v = a · t:

$$t=\frac{v}{a}=\frac{70\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=35\mathrm{s}$$

Проверка със средната скорост: тя е при потегляне от покой половината от крайната, 35 m/s, и за 35 s това дава 35 m/s · 35 s = 1225 m. Самолетът ускорява 35 s и му трябва над 1,2 km писта. Затова големите летища имат писти, дълги няколко километра, с резерв за прекъснат старт.

Задача 7: Сърна на мокър път

Шофьор се движи по мокър път със скорост 60 km/h и на 40 m пред себе си вижда сърна. Реакцията трае 1 s, на мокър асфалт колата спира със забавяне 5 m/s². Ще спре ли навреме?

Решение:

$$\begin{array}{rl}v& =60\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{60}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}& =1\mathrm{s}\\ |a|& =5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Скоростта оставяме като дроб, за да не закръгляваме междинните резултати. Общият път е път за реакция плюс спирачен път:

$$s=s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}=v\cdot t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Заместваме всяка част поотделно:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}& =\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}\approx 16,7\mathrm{m}\\ s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}& =\frac{{\left(\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{250}{9}\mathrm{m}\approx 27,8\mathrm{m}\end{array}$$

Общо са $\frac{400}{9}\mathrm{m}\approx 44,4\mathrm{m}$. Колата няма да спре навреме, ще спре едва около 4 m след мястото, където стои сърната. На сухо със забавяне 7 m/s² му стигат 36,5 m, следователно на мокро си струва да се кара по-бавно.

Задача 8: Камък от мост

От мост пускаме камък, който пада в реката за 1,5 s. На каква височина е мостът над водата и с каква скорост камъкът я удря? Съпротивлението на въздуха пренебрегваме. Колко дълго би падал от два пъти по-висок мост?

Решение:

$$\begin{array}{rl}t& =1,5\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Става дума за свободно падане, положителната посока избираме надолу:

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1,5\mathrm{s}{)}^2\approx 11\mathrm{m}$$

$$v=g\cdot t=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,5\mathrm{s}\approx 14,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Това е около 53 km/h. Оценката с g ≈ 10 m/s² дава $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2,25\approx 11\mathrm{m}$, вярно е. Мостът е приблизително 11 m над водата и камъкът я удря със скорост около 15 m/s.

Два пъти по-голяма височина не означава два пъти по-дълго време. От $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ се вижда, че два пъти по-голяма височина удължава времето на падане само $\sqrt{2}$ пъти:

$$t^{\prime }=\sqrt{2}\cdot 1,5\mathrm{s}\approx 2,1\mathrm{s}$$

Задача 9: Дрон при страничен вятър

Дрон лети спрямо въздуха със скорост 12 m/s и носът му сочи точно на север. Духа източен вятър, тоест въздухът се движи на запад, със скорост 5 m/s. С каква скорост се движи дронът спрямо земята и на какъв ъгъл се отклонява от север?

Решение:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =12\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s}),\alpha =?\end{array}$$

Дронът се движи по два начина: лети спрямо въздуха и въздухът го отнася. Получената скорост е векторният им сбор и тъй като двете скорости са перпендикулярни, използваме Питагоровата теорема:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(12\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(5\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =13\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Ъгъла от север определяме от правоъгълния триъгълник на скоростите, където скоростта на вятъра е срещулежащият катет, а получената скорост хипотенузата:

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v}=\frac{5}{13}\approx \mathrm{0,385},\alpha \approx 22,6°$$

Простият сбор би дал 17 m/s, но скоростите нямат една и съща посока. Резултатът трябва да е по-голям от 12 m/s и по-малък от 17 m/s, и 13 m/s наистина е такава. Дронът се движи спрямо земята със скорост 13 m/s и вятърът го отклонява с около 23° от север на запад. За минута го отнася на 300 m встрани.

Задача 10: Виенско колело

Виенското колело на панаира има радиус 20 m и един оборот трае 4 min. Каква е честотата и ъгловата му скорост и с каква скорост се движи кабинката по обиколката?

Решение:

$$\begin{array}{rl}r& =20\mathrm{m}\\ T& =4\min =240\mathrm{s}\\ \nu & =?(\mathrm{Hz}),\omega =?(\mathrm{rad}/\mathrm{s}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Честотата е реципрочната стойност на периода:

$$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{240\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,004}2\mathrm{Hz}$$

Ъгловата скорост показва пълен ъгъл 2π за един период:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{240\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,026}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Скорост на кабинката:

$$v=\omega \cdot r=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 20\mathrm{m}}{240\mathrm{s}}\approx 0,52\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Кабинката за един оборот изминава обиколката на колелото, около 126 m, за четири минути. Това е около 1,9 km/h, бавна разходка. В кабинката би могло да се влиза и в движение, както при големите панорамни колела.

Задача 11: Центрофуга за пилоти

Тренировъчната центрофуга за пилоти има кабина на рамо с дължина 8 m. Колко пъти в минута трябва да се завърти, за да има кабината центростремително ускорение 6g, тоест шест пъти по-голямо от земното ускорение?

Решение:

$$\begin{array}{rl}r& =8\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{ц}}& =6\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=58,86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ \nu & =?(\mathrm{Hz})\end{array}$$

От формулата за центростремителното ускорение a_ц = ω² · r изразяваме първо ъгловата скорост, после честотата:

$$\begin{array}{rcl}{\omega }^2\cdot r& =& a_{\mathrm{ц}}/:r\\ \omega & =& \sqrt{\frac{a_{\mathrm{ц}}}{r}}\\ \nu & =& \frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_{\mathrm{ц}}}{r}}\end{array}$$

Мерни единици: $\sqrt{\frac{{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}}=\frac{1}{\mathrm{s}}$, вярно е. Заместваме:

$$\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{58,86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{8\mathrm{m}}}\approx 0,43\mathrm{Hz}$$

За минута това са 0,432 · 60 ≈ 26 оборота. Един оборот трае около 2,3 s и кабината се носи със скорост v = ω · r ≈ 21,7 m/s, почти 80 km/h. Центрофугата трябва да се завърти около 26 пъти в минута.

Задача 12: Метро между станциите

Влак в метрото потегля от станция с ускорение 1,2 m/s² за 15 s, после се движи с постоянна скорост 30 s и накрая спира със забавяне 1,5 m/s², докато спре на следващата станция. На какво разстояние са станциите една от друга и каква е средната скорост на влака?

Решение: Движението разделяме на три участъка и във всеки използваме формулите за един вид движение.

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,t_1=15\mathrm{s}\\ t_2& =30\mathrm{s}\\ |a_3|& =1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m}),v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Потегляне от покой. В края му влакът има скорост

$$v=a_1\cdot t_1=1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 15\mathrm{s}=18\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

и е изминал

$$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2=\frac{1}{2}\cdot 1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (15\mathrm{s}{)}^2=135\mathrm{m}.$$

Движение с постоянна скорост 18 m/s, тоест около 65 km/h:

$$s_2=v\cdot t_2=18\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=540\mathrm{m}$$

Спиране от 18 m/s до пълно спиране:

$$\begin{array}{rl}{t}_3& =\frac{v}{|a_3|}=\frac{18\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=12\mathrm{s}\\ s_3& =\frac{v^2}{2\cdot |a_3|}=\frac{(18\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=108\mathrm{m}\end{array}$$

Общо:

$$\begin{array}{rl}s& =135\mathrm{m}+540\mathrm{m}+108\mathrm{m}=783\mathrm{m}\\ t& =15\mathrm{s}+30\mathrm{s}+12\mathrm{s}=57\mathrm{s}\\ v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}& =\frac{s}{t}=\frac{783\mathrm{m}}{57\mathrm{s}}\approx 13,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Станциите са на около 780 m една от друга, влакът ги изминава за по-малко от минута със средна скорост около 49 km/h. С най-високата скорост 65 km/h се движи само приблизително половината от времето, затова средната е забележимо по-ниска. Разстояние около километър е обичайно за градско метро.

Задача 13: Отчитане от графика

Графиката показва скоростта на електрическата тротинетка на Филип за дванайсет секунди. Какво ускорение е имала тротинетката в отделните участъци, какъв път е изминала за цялото време и каква е била средната ѝ скорост?

Решение: От графиката отчитаме скоростта в точките, където се променя видът на движението: в началото 4 m/s, в момент 4 s вече 8 m/s, в момент 10 s все още 8 m/s и в момент 12 s нула. Ускорението е промяната на скоростта, разделена на времето:

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =\frac{8\mathrm{m}/\mathrm{s}-4\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_2& =0{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_3& =\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{s}}=-4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Това се вижда на графиката и без пресмятане: колкото по-стръмен е участъкът, толкова по-голяма е големината на ускорението. Растящият участък означава положително ускорение, хоризонталният нулево и намаляващият отрицателно: в третия участък тротинетката има ускорение −4 m/s², тоест забавяне 4 m/s².

Пътят е лицето под графиката на скоростта. Първият участък образува трапец, вторият правоъгълник и третият триъгълник:

$$\begin{array}{rl}{s}_1& =\frac{4\mathrm{m}/\mathrm{s}+8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2}\cdot 4\mathrm{s}=24\mathrm{m}\\ s_2& =8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 6\mathrm{s}=48\mathrm{m}\\ s_3& =\frac{1}{2}\cdot 8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{s}=8\mathrm{m}\end{array}$$

Общо s = 80 m за 12 s, средната скорост е

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{s}{t}=\frac{80\mathrm{m}}{12\mathrm{s}}\approx 6,7\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Проверка: средната скорост трябва да лежи между нулата и най-високата скорост 8 m/s и тъй като тротинетката е вървяла по-голямата част от времето с осем метра в секунда, ще е по-близо до нея. Тротинетката е имала ускорение последователно 1 m/s², нула и −4 m/s², изминала е 80 m и се е движила средно със скорост около 6,7 m/s, тоест 24 km/h.

Със същия подход могат да се решават и задачи, в които участват сили. Ще ги намериш в статията Задачи по динамика с решения.