等加速度直線運動

路面電車が停留所に止まっています。ドアが閉まると、路面電車は加速度 1 m/s² で走り出します。1秒ごとに 1 m/s ずつ速くなり、1秒後には 1 m/s、2秒後には 2 m/s、10秒後には 10 m/s になります。直線上を加速度が一定のまま進む運動を等加速度直線運動といいます。「等加速度」は加速度が一定という意味で、速度は1秒ごとに同じだけ増えていきます。完全に一定の加速度で走る路面電車や車はありませんが、青信号での発進や、手から放した石の運動はこれにとても近くなります。

任意の時刻の速度

7秒後、路面電車の速さはどれだけでしょうか。おそらく 7 m/s と答えるでしょうし、それで正解です。一般の公式は、加速度の公式 $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$ から導きます。運動を観察し始めた瞬間にストップウォッチをスタートさせるので、時間 Δt はストップウォッチの示す時刻 t そのものです。速度の変化は v − v₀ で、v₀ はストップウォッチをスタートさせたときに物体がもっていた初速度です。両辺に時間をかけ、初速度を足します。

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

時刻 t の速度は次のようになります。

$$v=v_0+a\cdot t$$

もとの速度に1秒ごとに a ずつ加わるので、t 秒間では a · t だけ加わります。路面電車は静止の状態から出発するので v₀ = 0 m/s で、10秒後の速度は次のとおりです。

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

メートル毎秒毎秒に秒をかけるとメートル毎秒になり、単位も合っています。キロメートル毎時へは 3.6 をかけて換算しました。

速度のグラフは直線

公式 v = v₀ + a · t は、速さが一定のときの道のりの公式 s = s₀ + v · t と同じ形をしています。これは1次関数 y = a · x + b で、x のかわりに時間、y のかわりに速度をとり、傾きが加速度、b が初速度にあたります。そのため、速度のグラフは直線になります。

赤い直線は路面電車のグラフで、原点から始まり、1秒ごとに 1 m/s ずつ上がります。青い直線は、トラクターの後ろを 10 m/s、つまり 36 km/h でのろのろ走っていた車のグラフです。しびれを切らした運転手はアクセルを踏み、トラクターを追い越そうとします。このとき車の加速度は 2 m/s² です。グラフは縦軸の高さ v₀ = 10 m/s から始まり、路面電車のグラフの2倍の傾きで上がっていきます。道のりのグラフの傾きが速さを表すのと同じように、速度のグラフの傾きは加速度を表します。

道のりはグラフの下の面積

追い越しの間に、車は何メートル進むでしょうか。速さが一定のときは、道のりは速度のグラフの下の面積に表れていました。そのときのグラフは水平で、その下の部分は長方形でした。グラフが右上がりでも、同じ考え方が使えるでしょうか。時間を細い帯、例えば100分の1秒ごとに切り分けます。100分の1秒の間に車の速度は 0.02 m/s しか変わらないので、各帯の中で車はほぼ一定の速さで走り、帯の面積、つまり高さ×幅の分だけ進みます。帯が細いほど、このことは正確に成り立ちます。すべての帯の道のりを足し合わせると、グラフの下の面積全体になります。

速度のグラフの下は台形です。水平な破線が、これを青い長方形と赤い三角形に分けます。青い長方形は幅が t、高さが v₀ です。その面積 v₀ · t は、車がまったく加速しなかった場合に進む道のりにあたります。

赤い三角形は加速したことへのごほうびで、もとの速さのまま走った場合よりも余分に進んだ道のりです。この三角形は直角三角形で、直角をはさむ辺の一方が時間 t、もう一方が速度の増加量 Δv = a · t です。このような三角形は同じ辺をもつ長方形の半分なので、面積は次のようになります。

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

長方形と三角形を合わせると、等加速度直線運動の道のりになります。

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

物体が静止の状態から動き出すときは長方形がなくなり、三角形だけが残って $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ となります。路面電車が10秒間に進む道のりは次のとおりです。

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

秒の2乗が約分されて、メートルが残ります。

もっと簡単な計算として、終わりの速度を使った s = v · t を思いつくかもしれません。すると 10 m/s · 10 s = 100 m です。これは2倍の値です。路面電車が 10 m/s で走っていたのは最後の瞬間だけだからです。グラフでいえば、三角形のかわりに長方形全体の面積を測ったことになり、その面積は2倍です。

トラクターの追い越し

今度は、追い越し全体を順を追って見ていきましょう。車は5秒間加速します。そのあとの速さはどれだけになり、その間に何メートル進むでしょうか。まず、わかっている量を書き出します。

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

単位は基本単位で、一般の公式もすでにあります。まず、数値を速度の公式に代入します。

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

次に道のりの公式に代入します。

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

つまり、図の青い長方形の面積は 50 m、赤い三角形の面積は 25 m です。この結果は妥当でしょうか。車がずっと初めの 10 m/s で走れば 50 m、ずっと終わりの 20 m/s で走れば 100 m 進みます。結果はこの2つの値の間にあります。車は5秒間で 72 km/h まで加速し、75 m 進みます。

その間、トラクターは 10 m/s のまま走り続け、青い長方形と同じ 50 m 進みました。つまり車は5秒間でトラクターより 25 m 多く進んだことになり、これは赤い三角形の面積と同じです。トラクターが長いトレーラーを引いていたら、運転手はもっと長く加速しなければならなかったでしょう。

平均の速さはちょうど真ん中

台形の面積は一度に計算することもできます。平行な2辺の平均に高さをかければよいのです。ここでは平行な2辺が v₀ と v、高さが時間です。

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

一方、道のりは平均の速さ×時間、$s=\overline{v}\cdot t$ とも書けます。そのため、等加速度直線運動では次の関係が成り立ちます。

$$\overline{v}=\frac{v_0+v}{2}.$$

平均の速さは、初めの速さと終わりの速さのちょうど真ん中になります。車の場合は 15 m/s で、15 m/s · 5 s はやはり 75 m です。これが成り立つのは、速度のグラフが直線だからです。ほかの場合には、平均の速さが真ん中になるとはかぎりません。例えば行きは60、帰りは40の道のりがそうです。

間隔の比 1 : 3 : 5 : 7

走り出した車が1秒ごとに印を残すと、印の間隔は 1:3:5:7:9 の比で大きくなります。速度のグラフを見れば、このことがひと目でわかります。

路面電車のグラフの下の部分を、1秒ずつの帯に切り分けました。帯は赤と青で交互に塗ってあります。各帯の面積は、路面電車がその1秒間に進んだ道のりです。白い線は、この部分を同じ大きさの小さな三角形に分けています。小さな三角形はどれも、1 s × 1 m/s の小さな正方形の半分です。1つ目の帯には小さな三角形が1個、2つ目には3個、3つ目には5個、4つ目には7個あります。帯は1つ進むごとに小さな正方形1つ分ずつ高くなるので、小さな三角形が2個ずつ増えます。1秒ごとの道のり、つまり印の間隔は、1:3:5:7 の比になります。

帯を足していくと、スタートからの道のりになります。1秒後は小さな三角形1個、2秒後は 1 + 3 = 4 個、3秒後は 1 + 3 + 5 = 9 個、4秒後は 16 個です。いつも秒数の2乗になり、公式 $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ のとおりです。加速度がちがえばグラフは急になったりゆるやかになったりしますが、小さな三角形の個数は変わりません。

道のりのグラフは放物線

路面電車の道のり $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ を1秒ごとに書き出します。1秒間では 0.5 m、2秒間では 2 m、3秒間では 4.5 m、4秒間では 8 m、10秒間では 50 m 進みます。時間が2倍になると道のりは4倍、時間が3倍になると道のりは9倍になります。公式の中で時間が2乗されているからです。

点はもう直線上にはなく、放物線とよばれる曲線の上にあります。なぜ上向きに曲がるのでしょうか。道のりのグラフの傾きは速さで、路面電車の速さは増え続けます。初めは路面電車が止まっているのでグラフは水平で、その後どんどん急になります。灰色の破線は、一定の平均の速さ 5 m/s で進み、10秒後に同じ点に着く運動のグラフです。路面電車は初めは遅れていて、終わりに近づくにつれてその遅れを取りもどします。

数学的にいえば、道のりは時間の2次関数です。時間の2乗が含まれているからです。2次関数のグラフはどれも放物線で、静止の状態から出発しない車でも同じです。ただし、その車のグラフ $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ は水平には始まりません。車は初めからすでに 10 m/s で走っているので、グラフは原点から傾き 10 m/s で出発し、その後しだいに急になっていきます。放物線については2次関数の記事で詳しく扱います。

時間を含まない速度の式

路面電車は、およそ14秒で 50 km/h まで加速します。その間に何メートル進むでしょうか。時間を使って計算することもできますが、時間を使わない方法もあります。時間をまったく含まない公式があるのです。公式 v = v₀ + a · t を時間について解いて $t=\frac{v-v_0}{a}$ とし、平均の速さを使った公式に代入します。

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

分子のかっこを展開すると、真ん中の項が打ち消し合います。

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

これで $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$ が得られました。両辺に 2 · a をかけ、$v_0^2$ を足します。

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

車の例で確かめてみましょう。(10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s² で、これはたしかに (20 m/s)² です。

路面電車は静止の状態から出発するので v² = 2 · a · s となり、道のりは $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$ です。速さは四捨五入せず、分数のまま公式に代入します。

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \fallingdotseq 96\mathrm{m}\end{array}$$

時速50 kmに達するまでに、路面電車はほぼ100 mの線路を使います。

進行方向を正の向きにとれば、同じ公式はブレーキをかけるときにも、負の加速度で使えます。車が止まるまでブレーキをかけ続けると、終わりの速度は0になり、関係式 $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ から、止まるまでに何メートル必要かがわかります。これが制動距離で、速さが増えると、運転手が望むよりもずっと急激に長くなります。

運転手がブレーキを踏むまでのわずかな時間に進む距離も制動距離に加えると、車は実際に何メートル必要なのか、そしてなぜ速さが2倍になると制動距離が4倍になるのかは、次の記事ブレーキと停止距離で計算します。