Opgaver i kinematik med løsninger

Du lærer ikke fysik ved at læse, kun ved at regne. Her følger tretten opgaver om bevægelse, ordnet fra strækning og forskydning over acceleration og frit fald til centripetalacceleration. I de to sidste skifter bevægelsestyperne. Alle løser vi med samme fremgangsmåde: opskrivning, omregning af enheder, generel løsning, indsætning med enheder, overslag og svar i en hel sætning. Prøv først at regne hver opgave selv, og læs løsningen bagefter.

Opgave 1: Laura lufter hunden

Laura går en tur med hunden rundt om en kvadratisk park med siden 120 m. Hun starter i et hjørne og går rundt om tre sider af parken. Hvilken strækning går hun, og hvor stor er hendes forskydning?

Løsning:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Strækningen er længden af banen, altså af parkens tre sider:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Forskydningen er pilen fra startstedet til det sted, hvor hun endte. Efter tre sider af kvadratet står hun i hjørnet, der støder op til startpunktet, så forskydningen går langs den fjerde side:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Laura gik 360 m, men er kun 120 m fra stedet, hvor hun startede. Havde hun gået hele vejen rundt om parken, havde hun gået 480 m, og forskydningen havde været nul.

Opgave 2: Op ad bakke og ned ad bakke

Mikkel cykler op på en bakke ad en vej på 3 km med farten 12 km/h og kører samme vej ned igen med farten 36 km/h. Hvad er hans gennemsnitsfart?

Løsning: Det er fristende at lægge farterne sammen og dele med to, det ville give 24 km/h. Men gennemsnitsfarten er den samlede strækning divideret med den samlede tid, og opad kører Mikkel meget længere end nedad.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ \bar{v} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Alt har vi i kilometer og timer, omregning er unødvendig. Køretiderne er $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ og $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , så

$\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Vi indsætter:

$\begin{aligned} \bar{v} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Opad kørte Mikkel en kvart time, nedad fem minutter. Hele strækningen klarede han på tyve minutter, og den, der kører 6 km på en tredjedel time, ville nå 18 km på en time. Gennemsnitligt kørte Mikkel 18 km/h, ikke 24 km/h.

Opgave 3: Anna går fra hytten

En vandrerhytte ligger ved vejen 4 km uden for landsbyen. Anna fortsætter derfra væk fra landsbyen med den konstante fart 5 km/h. Hvor langt fra landsbyen er hun efter 1 time og 12 minutter?

Løsning:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Pas på omregningen. Tolv minutter er ikke 0,12 h, men $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Anna starter ikke i landsbyen, men 4 km fra den, derfor lægger vi begyndelsesstrækningen s₀ til den tilbagelagte strækning som ved jævn retlinet bevægelse:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer i timen gange timer giver kilometer, det stemmer. På en time går Anna 5 km, på 1,2 h en femtedel mere, altså 6 km, og med hytten bliver det ti. Anna er 10 km fra landsbyen. Den, der indsatte 1,12 h, ville få 9,6 km.

Opgave 4: Jakob indhenter mor

Mor går hjemmefra med en barnevogn med farten 4 km/h. Efter en kvart time opdager Jakob, at hun har glemt nøglerne, og løber efter hende ad samme vej med farten 10 km/h. Hvor længe er han om at indhente hende, og hvor langt fra hjemmet sker det?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Efter en kvart time har mor et forspring på s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Ved indhentning mindskes afstanden med forskellen mellem farterne:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

I den tid løber Jakob

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Kontrol: Mor har gået 15 + 10 = 25 minutter, altså $\frac{25}{60}$ time, og er nået $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Det stemmer. Jakob indhenter mor ti minutter efter, at han er løbet af sted, cirka 1,7 km fra hjemmet.

Opgave 5: Geparden

En gepard accelererer fra hvile til 72 km/h på 2,5 s. Hvilken gennemsnitlig acceleration har den? Og hvilken acceleration har den bagefter, når den fra denne fart standser på 4 s?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Ifølge formlen for acceleration:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Geparden har accelerationen 8 m/s², hvert sekund er den 8 m/s hurtigere. En familiebil, der bruger ti sekunder fra 0 til 100, har knap 3 m/s², så geparden ville uden besvær slå den fra start.

Når geparden standser, falder farten fra 20 m/s til nul på 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Den positive retning tager vi i løbsretningen, en negativ acceleration betyder derfor opbremsning. Når geparden standser, har den accelerationen −5 m/s², eller decelerationen 5 m/s².

Opgave 6: Hvor lang en bane skal flyet bruge

Et passagerfly sætter i gang på startbanen fra hvile med den konstante acceleration 2 m/s² og letter ved farten 252 km/h. Hvor langt et stykke af banen har det brug for, og hvor lang tid varer igangsætningen?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Tiden kender vi ikke, derfor er sammenhængen uden tid $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ praktisk. Ved igangsætning fra hvile udtrykker vi strækningen af den:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

Tiden til igangsætning regner vi ud af v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Kontrol med gennemsnitsfarten: Den er ved igangsætning fra hvile halvdelen af slutfarten, 35 m/s, og på 35 s giver det 35 m/s · 35 s = 1225 m. Igangsætningen varer 35 s, og flyet har brug for over 1,2 km bane. Derfor har store lufthavne startbaner på flere kilometer, med margin til en afbrudt start.

Opgave 7: Rådyret på den våde vej

En bilist kører på en våd vej med farten 60 km/h og får øje på et rådyr 40 m foran sig. Reaktionen tager 1 s, og på våd asfalt bremser bilen med decelerationen 5 m/s². Når den at standse i tide?

Løsning:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Farten lader vi stå som brøk, så vi ikke afrunder mellemresultater. Den samlede strækning er reaktionslængde plus bremselængde:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Vi indsætter hver del for sig:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Det bliver i alt $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Bilen når ikke at standse i tide, den ville først standse cirka 4 m forbi stedet, hvor rådyret står. På tørt føre med decelerationen 7 m/s² ville den nøjes med 36,5 m, på vådt føre kan det altså betale sig at køre langsommere.

Opgave 8: Sten fra en bro

Fra en bro slipper vi en sten, som rammer floden efter 1,5 s. Hvor højt er broen over vandet, og med hvilken fart rammer stenen? Luftmodstanden ser vi bort fra. Hvor længe ville den falde fra en bro, der er dobbelt så høj?

Løsning:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Det er frit fald, og vi vælger nedad som positiv retning:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Det er cirka 53 km/h. Et overslag med g ≈ 10 m/s² giver $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , det stemmer. Broen er omtrent 11 m over vandet, og stenen rammer med farten cirka 15 m/s.

Dobbelt så stor højde betyder ikke dobbelt så lang tid. Af $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ses det, at den dobbelte højde kun forlænger faldtiden $\sqrt{2}$ gange:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Opgave 9: Drone i sidevind

En drone flyver i forhold til luften med farten 12 m/s og peger med næsen præcis mod nord. Der blæser en østenvind, altså luften bevæger sig mod vest, med farten 5 m/s. Hvor hurtigt bevæger dronen sig i forhold til jorden, og hvilken vinkel afviger den fra nord med?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Dronen bevæger sig på to måder: Den flyver i forhold til luften, og luften fører den med sig. Den resulterende hastighed er deres vektorsum, og da de to hastigheder er vinkelrette, bruger vi Pythagoras' sætning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Vinklen fra nord finder vi i den retvinklede trekant af hastigheder, hvor vindens hastighed er den modstående katete og den resulterende hastighed er hypotenusen:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

En ren sum ville give 17 m/s, men hastighederne har ikke samme retning. Resultatet skal være større end 12 m/s og mindre end 17 m/s, og det er 13 m/s. Dronen flyver i forhold til jorden med farten 13 m/s, og vinden drejer den cirka 23° fra nord mod vest. På et minut fører den dronen 300 m til siden.

Opgave 10: Pariserhjulet

Et pariserhjul på tivoli har radius 20 m, og en omdrejning tager 4 min. Hvad er dets frekvens og vinkelhastighed, og med hvilken fart kører en kabine på kanten?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekvensen er den reciprokke værdi af omløbstiden:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Vinkelhastigheden angiver hele vinklen 2π på én omløbstid:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Kabinens fart:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

På én omdrejning tilbagelægger kabinen hjulets omkreds, cirka 126 m, på fire minutter. Det er cirka 1,9 km/h, en langsom spadseretur. Man kunne derfor stige ind i kabinen, mens hjulet kører, som ved store udsigtshjul.

Opgave 11: Centrifuge til piloter

En træningscentrifuge til piloter har en kabine på en arm, der er 8 m lang. Hvor mange gange i minuttet skal den dreje rundt, for at kabinen får centripetalaccelerationen 6g, altså seks gange tyngdeaccelerationen?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Af formlen for centripetalacceleration a_c = ω² · r udtrykker vi først vinkelhastigheden, derefter frekvensen:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Enheder: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , det stemmer. Vi indsætter:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

I minuttet er det 0,432 · 60 ≈ 26 omdrejninger. En omdrejning tager cirka 2,3 s, og kabinen suser af sted med farten v = ω · r ≈ 21,7 m/s, næsten 80 km/h. Centrifugen skal dreje rundt cirka 26 gange i minuttet.

Opgave 12: Metro mellem stationer

Et metrotog sætter i gang fra en station med accelerationen 1,2 m/s² i 15 s, kører derefter med konstant fart i 30 s og bremser til sidst med decelerationen 1,5 m/s², indtil det standser på den næste station. Hvor langt er der mellem stationerne, og hvad er togets gennemsnitsfart?

Løsning: Køreturen deler vi i tre afsnit og bruger i hvert af dem formlerne for én bevægelsestype.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), \bar{v} = ? (m / s) \end{aligned}$

Igangsætning fra hvile. Ved dens slutning har toget farten

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

og har tilbagelagt

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Kørsel med konstant fart 18 m/s, altså cirka 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Opbremsning fra 18 m/s til standsning:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

I alt:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ \bar{v} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Stationerne ligger cirka 780 m fra hinanden, toget tilbagelægger afstanden på knap et minut med gennemsnitsfarten cirka 49 km/h. Topfarten 65 km/h holder det kun omkring halvdelen af tiden, derfor er gennemsnittet mærkbart lavere. En afstand på omkring en kilometer er almindelig for en bymetro.

Opgave 13: Aflæsning af en graf

Grafen viser farten af Frederiks elektriske løbehjul i løbet af tolv sekunder. Hvilken acceleration havde løbehjulet i de enkelte afsnit, hvilken strækning tilbagelagde det i hele tiden, og hvad var dets gennemsnitsfart?

Graf over farten v som funktion af tiden t: fra 0 til 4 s vokser den fra 4 til 8 m/s, fra 4 til 10 s er den konstant, fra 10 til 12 s falder den til nul

Løsning: Af grafen aflæser vi farten i de punkter, hvor bevægelsestypen skifter: i begyndelsen 4 m/s, til tiden 4 s allerede 8 m/s, til tiden 10 s stadig 8 m/s og til tiden 12 s nul. Accelerationen er fartændringen divideret med tiden:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Det kan man også se på grafen uden at regne: Jo stejlere afsnit, desto større er accelerationens størrelse. Et stigende afsnit betyder positiv acceleration, et vandret nul og et faldende negativ: i det tredje afsnit har løbehjulet accelerationen −4 m/s², eller decelerationen 4 m/s².

Strækningen er arealet under (t,v)-grafen. Det første afsnit danner et trapez, det andet et rektangel og det tredje en trekant:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

I alt s = 80 m på 12 s, gennemsnitsfarten er

$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Kontrol: Gennemsnitsfarten skal ligge mellem nul og topfarten 8 m/s, og da løbehjulet det meste af tiden kørte med topfarten, ligger den tættere på den. Løbehjulet havde efter hinanden accelerationerne 1 m/s², nul og −4 m/s², tilbagelagde 80 m og kørte i gennemsnit cirka 6,7 m/s, altså 24 km/h.

Med den samme fremgangsmåde kan man også løse opgaver, hvor der indgår kræfter. Dem finder du i artiklen Opgaver i dynamik med løsninger.

« Forrige: Fiktive kræfter

Næste: Opgaver i dynamik med løsninger »