Løste oppgaver i kinematikk

Fysikk lærer du ikke ved å lese, bare ved å regne. Nå følger tretten oppgaver om bevegelse, ordnet fra strekning og forflytning via akselerasjon og fritt fall til sentripetalakselerasjon. I de to siste veksler bevegelsestypene. Alle løser vi med samme framgangsmåte: oppsett, omregning av enheter, generell løsning, innsetting med enheter, overslag og svar med en hel setning. Prøv å regne hver oppgave selv først, og les løsningen først etterpå.

Oppgave 1: Klara lufter hunden

Klara går rundt en kvadratisk park med siden 120 m sammen med hunden. Hun starter i et hjørne og går langs tre sider av parken. Hvilken strekning går hun, og hvor stor er forflytningen hennes?

Løsning:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Strekningen er lengden av banen, altså av tre sider av parken:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Forflytningen er pilen fra stedet hun startet til stedet hun endte. Etter tre sider av kvadratet står hun i hjørnet som ligger ved siden av startpunktet, så forflytningen går langs den fjerde siden:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Klara gikk 360 m, men er bare 120 m fra stedet hun gikk fra. Hvis hun hadde gått hele veien rundt parken, ville hun gått 480 m og forflytningen ville vært null.

Oppgave 2: Opp bakken og ned igjen

Markus sykler opp en bakke langs en vei som er 3 km lang med farten 12 km/h og den samme veien ned igjen med farten 36 km/h. Hva er gjennomsnittsfarten hans?

Løsning: Det frister å legge sammen fartene og dele på to, det ville gitt 24 km/h. Men gjennomsnittsfart er hele strekningen delt på hele tiden, og oppover bruker Markus mye lenger tid enn nedover.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ \bar{v} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Alt har vi i kilometer og timer, omregning faller bort. Kjøretidene er $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ og $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , så

$\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Vi setter inn:

$\begin{aligned} \bar{v} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Oppover brukte Markus en kvart time, nedover fem minutter. Hele turen klarte han på tjue minutter, og den som kommer 6 km på en tredjedel av en time, ville kommet 18 km på en time. Gjennomsnittlig sykler Markus 18 km/h, ikke 24 km/h.

Oppgave 3: Hanna går fra hytta

Turisthytta ligger ved veien 4 km fra bygda. Hanna fortsetter derfra bort fra bygda med konstant fart 5 km/h. Hvor langt fra bygda er hun etter 1 time og 12 minutter?

Løsning:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Pass på omregningen. Tolv minutter er ikke 0,12 h, men $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hanna starter ikke fra bygda, men 4 km fra den, derfor legger vi startstrekningen s₀ til den tilbakelagte strekningen, som ved rettlinjet bevegelse med konstant fart:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer i timen ganger timer gir kilometer, det stemmer. På en time går Hanna 5 km, på 1,2 h en femtedel mer, altså 6 km, og med hytta blir det ti. Hanna er 10 km fra bygda. Den som satte inn 1,12 h, ville fått 9,6 km.

Oppgave 4: Jakob tar igjen mamma

Mamma går hjemmefra med barnevogn med farten 4 km/h. Etter en kvart time oppdager Jakob at hun har glemt nøklene, og løper etter henne samme vei med farten 10 km/h. Hvor lang tid tar det før han tar henne igjen, og hvor langt fra hjemmet?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Mamma har etter en kvart time et forsprang s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Ved å ta igjen minker avstanden med differansen mellom fartene:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

I løpet av den tiden løper Jakob

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Kontroll: mamma går 15 + 10 = 25 minutter, altså $\frac{25}{60}$ time, og kommer $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Det stemmer. Jakob tar igjen mamma ti minutter etter at han begynte å løpe, omtrent 1,7 km fra hjemmet.

Oppgave 5: Gepard

En gepard øker farten fra ro til 72 km/h på 2,5 s. Hva er gjennomsnittsakselerasjonen? Og hva er akselerasjonen når den deretter stopper fra denne farten på 4 s?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Etter formelen for akselerasjon:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Geparden har akselerasjonen 8 m/s², hvert sekund er den 8 m/s raskere. En familiebil som bruker ti sekunder til hundre, har knapt 3 m/s², så geparden ville slått den lett på start.

Ved stopp synker farten fra 20 m/s til null på 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Positiv retning tar vi i løperetningen, negativ akselerasjon betyr derfor bremsing. Ved stopp har geparden akselerasjonen −5 m/s², eller retardasjonen 5 m/s².

Oppgave 6: Hvor lang bane trenger flyet

Et passasjerfly kommer i gang på startbanen fra ro med konstant akselerasjon 2 m/s² og letter fra bakken ved farten 252 km/h. Hvor langt stykke av banen trenger det, og hvor lenge ruller det?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Tiden kjenner vi ikke, så sammenhengen uten tid $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ kommer til nytte. For start fra ro løser vi ut strekningen:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

Tiden for starten regner vi ut fra v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Kontroll med gjennomsnittsfarten: ved start fra ro er den halvparten av sluttfarten, 35 m/s, og på 35 s gir det 35 m/s · 35 s = 1225 m. Flyet ruller i 35 s og trenger over 1,2 km bane. Derfor har store flyplasser rullebaner på flere kilometer, med margin for avbrutt start.

Oppgave 7: Rådyr på våt vei

En sjåfør kjører på en våt vei med farten 60 km/h og får øye på et rådyr 40 m foran seg. Reaksjonen tar 1 s, på våt asfalt bremser bilen med retardasjonen 5 m/s². Rekker han å stoppe?

Løsning:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Farten lar vi stå som brøk, så vi ikke runder av mellomresultatene. Den samlede strekningen er reaksjonslengde pluss bremselengde:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Vi setter inn hver del for seg:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Til sammen er det $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Bilen stopper ikke i tide, den ville først stoppet omtrent 4 m forbi stedet der rådyret står. På tørr vei med retardasjonen 7 m/s² ville 36,5 m holdt, på våt vei lønner det seg altså å kjøre saktere.

Oppgave 8: Stein fra en bro

Fra en bro slipper vi en stein som treffer elva etter 1,5 s. Hvor høyt over vannflaten er broen, og med hvilken fart treffer steinen? Vi ser bort fra luftmotstanden. Hvor lenge ville den falt fra en bro som er dobbelt så høy?

Løsning:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Det er fritt fall, positiv retning velger vi nedover:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Det er omtrent 53 km/h. Overslaget med g ≈ 10 m/s² gir $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , det stemmer. Broen er omtrent 11 m over vannflaten, og steinen treffer med en fart på omtrent 15 m/s.

Dobbelt så stor høyde betyr ikke dobbelt så lang tid. Av $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ser vi at dobbelt så stor høyde forlenger falltiden bare $\sqrt{2}$ ganger:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Oppgave 9: Drone i sidevind

En drone flyr med farten 12 m/s i forhold til luften, og nesen peker nøyaktig mot nord. Det blåser østavind, altså beveger luften seg mot vest, med farten 5 m/s. Hvor fort beveger dronen seg i forhold til bakken, og hvor mye avviker den fra nord?

Løsning:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Dronen beveger seg på to måter: den flyr i forhold til luften, og luften fører den med seg. Den resulterende hastigheten er vektorsummen av dem, og siden begge hastighetene står vinkelrett på hverandre, bruker vi Pytagoras' setning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Vinkelen fra nord finner vi fra den rettvinklede trekanten av hastigheter, der farten til vinden er motstående katet og den resulterende farten hypotenusen:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

En enkel sum ville gitt 17 m/s, men hastighetene har ikke samme retning. Resultatet må være større enn 12 m/s og mindre enn 17 m/s, og det er 13 m/s. Dronen flyr med farten 13 m/s i forhold til bakken, og vinden dreier den omtrent 23° fra nord mot vest. På ett minutt fører vinden den 300 m til siden.

Oppgave 10: Pariserhjul

Et pariserhjul på tivoliet har radius 20 m, og én omdreining tar 4 min. Hva er frekvensen og vinkelhastigheten, og med hvilken fart kjører en gondol på omkretsen?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekvensen er den omvendte verdien av perioden:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Vinkelhastigheten er den fulle vinkelen 2π per periode:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Farten til gondolen:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

I løpet av én omdreining tilbakelegger gondolen omkretsen av hjulet, omtrent 126 m, på fire minutter. Det er omtrent 1,9 km/h, en langsom spasertur. Man kunne derfor gå inn i gondolen også under kjøring, som ved store utsiktshjul.

Oppgave 11: Sentrifuge for piloter

En treningssentrifuge for piloter har en kabin på en arm som er 8 m lang. Hvor mange ganger per minutt må den dreie seg for at kabinen skal ha sentripetalakselerasjonen 6g, altså seks ganger større enn tyngdeakselerasjonen?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Fra formelen for sentripetalakselerasjon a_c = ω² · r løser vi først ut vinkelhastigheten, så frekvensen:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Enheter: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , det stemmer. Vi setter inn:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Per minutt er det 0,432 · 60 ≈ 26 omdreininger. Én omdreining tar omtrent 2,3 s, og kabinen suser av gårde med farten v = ω · r ≈ 21,7 m/s, nesten 80 km/h. Sentrifugen må dreie seg omtrent 26 ganger per minutt.

Oppgave 12: T-bane mellom stasjoner

Et T-banetog kommer i gang fra en stasjon med akselerasjonen 1,2 m/s² i 15 s, kjører så med konstant fart i 30 s og bremser til slutt med retardasjonen 1,5 m/s² til det stopper på neste stasjon. Hvor langt er det mellom stasjonene, og hva er gjennomsnittsfarten til toget?

Løsning: Turen deler vi i tre deler og bruker i hver av dem formlene for én type bevegelse.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), \bar{v} = ? (m / s) \end{aligned}$

Start fra ro. På slutten av den har toget farten

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

og har kommet

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Kjøring med konstant fart 18 m/s, altså omtrent 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Bremsing fra 18 m/s til stopp:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Til sammen:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ \bar{v} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Stasjonene ligger omtrent 780 m fra hverandre, toget kjører strekningen på under et minutt med gjennomsnittsfarten omtrent 49 km/h. Toppfarten 65 km/h holder det bare omtrent halve tiden, derfor er gjennomsnittet merkbart lavere. En avstand på rundt en kilometer er vanlig for T-bane i en by.

Oppgave 13: Avlesning fra graf

Grafen viser farten til Filips elsparkesykkel i løpet av tolv sekunder. Hvilken akselerasjon hadde sparkesykkelen i de enkelte delene, hvilken strekning kom den i løpet av hele tiden, og hva var gjennomsnittsfarten?

Fartsgraf v mot tid t: fra 0 til 4 s øker den fra 4 til 8 m/s, fra 4 til 10 s er den konstant, fra 10 til 12 s synker den til null

Løsning: Fra grafen leser vi av farten i punktene der typen bevegelse endrer seg: i begynnelsen 4 m/s, ved tiden 4 s allerede 8 m/s, ved tiden 10 s fortsatt 8 m/s og ved tiden 12 s null. Akselerasjonen er endringen i fart delt på tiden:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Det ser vi også på grafen uten å regne: jo brattere del, desto større er akselerasjonen i absoluttverdi. En stigende del betyr positiv akselerasjon, en vannrett null og en synkende negativ: i den tredje delen har sparkesykkelen akselerasjonen −4 m/s², eller retardasjonen 4 m/s².

Strekningen er arealet under fartsgrafen. Den første delen utgjør et trapes, den andre et rektangel og den tredje en trekant:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Til sammen s = 80 m på 12 s, gjennomsnittsfarten er

$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Kontroll: gjennomsnittsfarten må ligge mellom null og høyeste fart 8 m/s, og siden sparkesykkelen kjørte mesteparten av tiden med åtte, ligger den nærmere den. Sparkesykkelen hadde etter hverandre akselerasjonene 1 m/s², null og −4 m/s², kom 80 m og kjørte i gjennomsnitt omtrent 6,7 m/s, altså 24 km/h.

Med den samme framgangsmåten kan vi også løse oppgaver der krefter inngår. Dem finner du i artikkelen Løste oppgaver i dynamikk.

« Forrige: Fiktive krefter

Neste: Løste oppgaver i dynamikk »