Exercices corrigés de cinématique

La physique ne s’apprend pas en lisant, mais en calculant. Voici treize exercices sur le mouvement, classés de la distance parcourue et du déplacement à l’accélération centripète, en passant par l’accélération et la chute libre. Dans les deux derniers, les types de mouvement alternent. Nous les résolvons tous par la même démarche : les données, la conversion des unités, la solution littérale, le calcul avec les unités, une estimation et une réponse en une phrase complète. Essaie d’abord de calculer chaque exercice toi-même, ne lis la solution qu’ensuite.

Exercice 1 : Claire promène son chien

Claire fait le tour d’un parc carré de 120 m de côté avec son chien. Elle part d’un coin et parcourt trois côtés du parc. Quelle distance parcourt-elle et quelle est la valeur de son déplacement ?

Solution :

$\begin{aligned} d & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

La distance parcourue est la longueur de la trajectoire, donc de trois côtés du parc :

$d = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Le déplacement est la flèche du point de départ au point où elle a fini. Après trois côtés du carré, elle se trouve dans le coin voisin du point de départ, le déplacement suit donc le quatrième côté :

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Claire a parcouru 360 m, mais elle n’est qu’à 120 m de l’endroit d’où elle est partie. Si elle avait fait tout le tour du parc, elle aurait parcouru 480 m et le déplacement serait nul.

Exercice 2 : En montée et en descente

Marc monte une colline à vélo par une route de 3 km à la vitesse de 12 km/h et redescend par le même chemin à 36 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Solution : Il est tentant d’additionner les vitesses et de diviser par deux, on trouverait 24 km/h. Mais la vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total, et Marc met beaucoup plus de temps à monter qu’à descendre.

$\begin{aligned} d_{1} = d_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{m} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Tout est en kilomètres et en heures, il n’y a pas de conversion. Les durées sont $t_{1} = \frac{d_{1}}{v_{1}}$ et $t_{2} = \frac{d_{2}}{v_{2}}$ , donc

$v_{m} = \frac{d_{1} + d_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{d_{1} + d_{2}}{\frac{d_{1}}{v_{1}} + \frac{d_{2}}{v_{2}}} .$

Nous remplaçons :

$\begin{aligned} v_{m} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Marc a mis un quart d’heure à monter, cinq minutes à descendre. Il a fait tout le trajet en vingt minutes, et qui parcourt 6 km en un tiers d’heure en parcourrait 18 km en une heure. En moyenne, Marc a roulé à 18 km/h, pas à 24 km/h.

Exercice 3 : Anna quitte le refuge

Un refuge de randonneurs se trouve au bord du chemin, à 4 km du village. Anna continue à partir de là en s’éloignant du village, à vitesse constante de 5 km/h. À quelle distance du village sera-t-elle au bout de 1 heure 12 minutes ?

Solution :

$\begin{aligned} d_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ d & = ? (km) \end{aligned}$

Attention à la conversion. Douze minutes ne font pas 0,12 h, mais $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Anna ne part pas du village, mais de 4 km plus loin, c’est pourquoi nous ajoutons à la distance parcourue la distance initiale d₀, comme pour le mouvement rectiligne uniforme :

$d = d_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Des kilomètres par heure fois des heures donnent des kilomètres, c’est cohérent. En une heure, Anna parcourt 5 km, en 1,2 h un cinquième de plus, donc 6 km, et avec le refuge cela fait dix. Anna sera à 10 km du village. Celui qui remplacerait par 1,12 h obtiendrait 9,6 km.

Exercice 4 : Jules rattrape sa maman

Sa maman part de la maison avec une poussette à la vitesse de 4 km/h. Au bout d’un quart d’heure, Jules s’aperçoit qu’elle a oublié ses clés et court derrière elle par le même chemin à 10 km/h. Au bout de combien de temps la rattrape-t-il et à quelle distance de la maison ?

Solution :

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Au bout d’un quart d’heure, sa maman a une avance d₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Dans un rattrapage, l’écart diminue de la différence des vitesses :

$\begin{aligned} t & = \frac{d_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Pendant ce temps, Jules court

$d = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Vérification : sa maman marche 15 + 10 = 25 minutes, soit $\frac{25}{60}$ d’heure, et parcourt $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . C’est cohérent. Jules rattrape sa maman dix minutes après être parti, à environ 1,7 km de la maison.

Exercice 5 : Le guépard

Un guépard passe du repos à 72 km/h en 2,5 s. Quelle est son accélération moyenne ? Et quelle accélération a-t-il ensuite, quand il s’arrête en 4 s à partir de cette vitesse ?

Solution :

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

D’après la formule de l’accélération :

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Le guépard a une accélération de 8 m/s², il va chaque seconde 8 m/s plus vite. Une voiture familiale qui met dix secondes pour atteindre 100 km/h a un peu moins de 3 m/s², le guépard la battrait donc facilement au départ.

À l’arrêt, la vitesse passe de 20 m/s à zéro en 4 s :

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Nous prenons le sens positif dans le sens de la course, une accélération négative signifie donc un freinage. À l’arrêt, le guépard a une accélération de −5 m/s², autrement dit une décélération de 5 m/s².

Exercice 6 : Quelle piste faut-il à un avion

Un avion de ligne démarre du repos au décollage avec une accélération constante de 2 m/s² et quitte le sol à la vitesse de 252 km/h. Quelle longueur de piste lui faut-il et combien de temps dure son accélération ?

Solution :

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ d & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Nous ne connaissons pas le temps, la relation sans le temps $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a d$ convient donc. Pour un départ du repos, nous en exprimons la distance :

$d = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4 900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1 225 m$

La durée de l’accélération se calcule à partir de v = a · t :

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Vérification par la vitesse moyenne : pour un départ du repos, c’est la moitié de la vitesse finale, 35 m/s, et en 35 s cela donne 35 m/s · 35 s = 1 225 m. L’avion accélère pendant 35 s et il lui faut plus de 1,2 km de piste. C’est pourquoi les grands aéroports ont des pistes de plusieurs kilomètres, avec une marge pour un décollage interrompu.

Exercice 7 : Un chevreuil sur la route mouillée

Un conducteur roule sur une route mouillée à 60 km/h et aperçoit un chevreuil à 40 m devant lui. Le temps de réaction est de 1 s, sur l’asphalte mouillé la voiture freine avec une décélération de 5 m/s². S’arrête-t-il à temps ?

Solution :

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ d & = ? (m) \end{aligned}$

Nous laissons la vitesse sous forme de fraction pour ne pas arrondir les résultats intermédiaires. La distance totale est la distance de réaction plus la distance de freinage :

$d = d_{r} + d_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Nous remplaçons chaque partie séparément :

$\begin{aligned} d_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ d_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Au total, cela fait $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . La voiture ne s’arrête pas à temps, elle ne s’arrêterait qu’environ 4 m après l’endroit où se tient le chevreuil. Sur le sec, avec une décélération de 7 m/s², 36,5 m lui suffiraient, sur le mouillé il vaut donc mieux rouler plus lentement.

Exercice 8 : Une pierre lâchée d’un pont

Nous lâchons une pierre du haut d’un pont, elle tombe dans la rivière au bout de 1,5 s. À quelle hauteur le pont est-il au-dessus de l’eau et à quelle vitesse la pierre arrive-t-elle ? Nous négligeons la résistance de l’air. Combien de temps tomberait-elle d’un pont deux fois plus haut ?

Solution :

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

C’est une chute libre, nous choisissons le sens positif vers le bas :

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Cela fait environ 53 km/h. Une estimation avec g ≈ 10 m/s² donne $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , c’est cohérent. Le pont est à environ 11 m au-dessus de l’eau et la pierre arrive à environ 15 m/s.

Une hauteur double ne signifie pas un temps double. De $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ , on voit qu’une hauteur double n’allonge la durée de chute que de $\sqrt{2}$ fois :

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Exercice 9 : Un drone dans un vent latéral

Un drone vole par rapport à l’air à 12 m/s, son nez pointant exactement vers le nord. Un vent d’est souffle, donc l’air se déplace vers l’ouest, à 5 m/s. À quelle vitesse le drone se déplace-t-il par rapport au sol et de quel angle dévie-t-il du nord ?

Solution :

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Le drone se déplace de deux façons : il vole par rapport à l’air et l’air l’entraîne. La vitesse résultante est leur somme vectorielle, et comme les deux vitesses sont perpendiculaires, nous utilisons le théorème de Pythagore :

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

L’angle par rapport au nord, nous le trouvons dans le triangle rectangle des vitesses, où la vitesse du vent est le côté opposé et la vitesse résultante l’hypoténuse :

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

La simple somme donnerait 17 m/s, mais les vitesses n’ont pas la même direction. Le résultat doit être plus grand que 12 m/s et plus petit que 17 m/s, et 13 m/s l’est. Le drone vole par rapport au sol à 13 m/s et le vent le fait dévier d’environ 23° du nord vers l’ouest. En une minute, il l’emporte de 300 m sur le côté.

Exercice 10 : La grande roue

La grande roue d’une fête foraine a un rayon de 20 m et un tour dure 4 min. Quelles sont sa fréquence et sa vitesse angulaire, et à quelle vitesse se déplace une nacelle sur la circonférence ?

Solution :

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

La fréquence est l’inverse de la période :

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

La vitesse angulaire indique l’angle plein 2π par période :

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Vitesse de la nacelle :

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

En un tour, la nacelle parcourt la circonférence de la roue, environ 126 m, en quatre minutes. Cela fait environ 1,9 km/h, une marche lente. On pourrait donc monter dans la nacelle même en marche, comme pour les grandes roues panoramiques.

Exercice 11 : Une centrifugeuse pour pilotes

Une centrifugeuse d’entraînement pour pilotes a sa cabine au bout d’un bras de 8 m. Combien de tours par minute doit-elle faire pour que la cabine ait une accélération centripète de 6g, soit six fois l’intensité de la pesanteur ?

Solution :

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

De la formule de l’accélération centripète a_c = ω² · r, nous exprimons d’abord la vitesse angulaire, puis la fréquence :

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Unités : $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , c’est cohérent. Nous remplaçons :

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Par minute, cela fait 0,432 · 60 ≈ 26 tours. Un tour dure environ 2,3 s et la cabine file à v = ω · r ≈ 21,7 m/s, presque 80 km/h. La centrifugeuse doit faire environ 26 tours par minute.

Exercice 12 : Le métro entre deux stations

Une rame de métro démarre d’une station avec une accélération de 1,2 m/s² pendant 15 s, roule ensuite à vitesse constante pendant 30 s et enfin freine avec une décélération de 1,5 m/s² jusqu’à l’arrêt à la station suivante. Quelle distance sépare les stations et quelle est la vitesse moyenne de la rame ?

Solution : Nous partageons le trajet en trois parties et utilisons dans chacune les formules d’un seul type de mouvement.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ d & = ? (m), v_{m} = ? (m / s) \end{aligned}$

Démarrage du repos. À la fin, la rame a la vitesse

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

et a parcouru

$d_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Trajet à vitesse constante de 18 m/s, soit environ 65 km/h :

$d_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Freinage de 18 m/s jusqu’à l’arrêt :

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ d_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Au total :

$\begin{aligned} d & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{m} & = \frac{d}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Les stations sont distantes d’environ 780 m, la rame les relie en moins d’une minute à une vitesse moyenne d’environ 49 km/h. Elle ne roule à la vitesse maximale de 65 km/h que pendant environ la moitié du temps, c’est pourquoi la moyenne est nettement plus basse. Une distance d’environ un kilomètre est habituelle pour un métro urbain.

Exercice 13 : Lecture d’un graphique

Le graphique représente la vitesse de la trottinette électrique de Philippe pendant douze secondes. Quelle accélération avait la trottinette dans chaque partie, quelle distance a-t-elle parcourue pendant tout ce temps et quelle était sa vitesse moyenne ?

Graphique de la vitesse v en fonction du temps t : de 0 à 4 s elle passe de 4 à 8 m/s, de 4 à 10 s elle est constante, de 10 à 12 s elle tombe à zéro

Solution : Nous lisons sur le graphique la vitesse aux points où le type de mouvement change : au début 4 m/s, à l’instant 4 s déjà 8 m/s, à l’instant 10 s toujours 8 m/s et à l’instant 12 s zéro. L’accélération est la variation de vitesse divisée par la durée :

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

On le voit aussi sur le graphique sans calcul : plus la partie est raide, plus la valeur de l’accélération est grande. Une partie montante signifie une accélération positive, une partie horizontale une accélération nulle et une partie descendante une accélération négative : dans la troisième partie, la trottinette a une accélération de −4 m/s², autrement dit une décélération de 4 m/s².

La distance est l’aire sous le graphique de la vitesse. La première partie forme un trapèze, la deuxième un rectangle et la troisième un triangle :

$\begin{aligned} d_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ d_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ d_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Au total d = 80 m en 12 s, la vitesse moyenne est

$v_{m} = \frac{d}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Vérification : la vitesse moyenne doit se situer entre zéro et la vitesse maximale 8 m/s, et comme la trottinette a roulé à huit mètres par seconde la plupart du temps, elle sera plus proche de cette dernière. La trottinette a eu successivement les accélérations 1 m/s², nulle et −4 m/s², elle a parcouru 80 m et a roulé en moyenne à environ 6,7 m/s, soit 24 km/h.

La même démarche permet de résoudre aussi les exercices où interviennent des forces. Tu les trouveras dans l’article Exercices corrigés de dynamique.

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