Λυμένες ασκήσεις κινηματικής

Τη φυσική δεν τη μαθαίνεις διαβάζοντας, μόνο λύνοντας ασκήσεις. Ακολουθούν δεκατρείς ασκήσεις κίνησης, ταξινομημένες από το διάστημα και τη μετατόπιση, μέσα από την επιτάχυνση και την ελεύθερη πτώση, ως την κεντρομόλο επιτάχυνση. Στις δύο τελευταίες εναλλάσσονται τα είδη κίνησης. Όλες τις λύνουμε με την ίδια διαδικασία: καταγραφή, μετατροπή μονάδων, γενική λύση, αντικατάσταση με μονάδες, εκτίμηση και απάντηση με πλήρη πρόταση. Κάθε άσκηση προσπάθησε πρώτα να τη λύσεις μόνος σου και διάβασε τη λύση μετά.

Άσκηση 1: Η Κλαίρη βγάζει βόλτα τον σκύλο

Η Κλαίρη περπατά με τον σκύλο της γύρω από ένα τετράγωνο πάρκο με πλευρά 120 m. Ξεκινά από μία γωνία και περπατά κατά μήκος τριών πλευρών του πάρκου. Ποιο διάστημα διανύει και πόση είναι η μετατόπισή της;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}s& =?(\mathrm{m})\\ |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Το διάστημα είναι το μήκος της τροχιάς, δηλαδή των τριών πλευρών του πάρκου:

$$s=3\cdot 120\mathrm{m}=360\mathrm{m}$$

Η μετατόπιση είναι το βέλος από το σημείο εκκίνησης ως το σημείο όπου σταμάτησε. Μετά από τρεις πλευρές του τετραγώνου βρίσκεται στη γωνία που γειτονεύει με την αρχική, άρα η μετατόπιση πηγαίνει κατά μήκος της τέταρτης πλευράς:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=120\mathrm{m}$$

Η Κλαίρη περπάτησε 360 m, αλλά απέχει από το σημείο όπου ξεκίνησε μόνο 120 m. Αν είχε κάνει ολόκληρο τον γύρο του πάρκου, θα είχε διανύσει 480 m και η μετατόπιση θα ήταν μηδέν.

Άσκηση 2: Ανηφόρα και κατηφόρα

Ο Μάρκος ανεβαίνει με το ποδήλατο έναν λόφο σε δρόμο μήκους 3 km με ταχύτητα 12 km/h και από τον ίδιο δρόμο κατεβαίνει με ταχύτητα 36 km/h. Ποια είναι η μέση ταχύτητά του;

Λύση: Είναι δελεαστικό να προσθέσουμε τις ταχύτητες και να διαιρέσουμε με το δύο, θα έβγαιναν 24 km/h. Όμως η μέση ταχύτητα είναι το συνολικό διάστημα διά τον συνολικό χρόνο και προς τα πάνω ο Μάρκος κινείται για πολύ περισσότερο χρόνο απ' ό,τι προς τα κάτω.

$$\begin{array}{rl}{s}_1=s_2& =3\mathrm{km}\\ {\upsilon }_1& =12\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ {\upsilon }_2& =36\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ {\upsilon }_{\mu }& =?(\mathrm{km}/\mathrm{h})\end{array}$$

Τα έχουμε όλα σε χιλιόμετρα και ώρες, δεν χρειάζεται μετατροπή. Οι χρόνοι κίνησης είναι $t_1=\frac{s_1}{{\upsilon }_1}$ και $t_2=\frac{s_2}{{\upsilon }_2}$, άρα

$${\upsilon }_{\mu }=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{{\upsilon }_1}+\frac{s_2}{{\upsilon }_2}}.$$

Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_{\mu }& =\frac{6\mathrm{km}}{\frac{3\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}+\frac{3\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}}\\ & =\frac{6\mathrm{km}}{0,25\mathrm{h}+\frac{1}{12}\mathrm{h}}=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Η ανάβαση κράτησε ένα τέταρτο της ώρας, η κατάβαση πέντε λεπτά. Ολόκληρη τη διαδρομή την έκανε σε είκοσι λεπτά και όποιος διανύει 6 km σε ένα τρίτο της ώρας, θα διένυε σε μία ώρα 18 km. Κινήθηκε κατά μέσο όρο με 18 km/h, όχι με 24 km/h.

Άσκηση 3: Η Άννα φεύγει από το καταφύγιο

Ένα ορειβατικό καταφύγιο βρίσκεται δίπλα στο μονοπάτι 4 km μετά το χωριό. Η Άννα συνεχίζει από εκεί, απομακρυνόμενη από το χωριό, με σταθερή ταχύτητα 5 km/h. Πόσο μακριά από το χωριό θα είναι σε 1 ώρα και 12 λεπτά;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}{s}_0& =4\mathrm{km}\\ \upsilon & =5\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t& =1\mathrm{h}12\min =1,2\mathrm{h}\\ s& =?(\mathrm{km})\end{array}$$

Προσοχή στη μετατροπή. Τα δώδεκα λεπτά δεν είναι 0,12 h, αλλά $\frac{12}{60}=0,2\mathrm{h}$. Η Άννα δεν ξεκινά από το χωριό, αλλά 4 km μακριά του, γι' αυτό στο διανυθέν διάστημα προσθέτουμε το αρχικό διάστημα s₀, όπως στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:

$$s=s_0+\upsilon \cdot t=4\mathrm{km}+5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1,2\mathrm{h}=10\mathrm{km}$$

Χιλιόμετρα την ώρα επί ώρες δίνουν χιλιόμετρα, ταιριάζει. Σε μία ώρα η Άννα περπατά 5 km, σε 1,2 h κατά ένα πέμπτο περισσότερο, δηλαδή 6 km, και με το καταφύγιο γίνονται δέκα. Η Άννα θα βρίσκεται 10 km από το χωριό. Όποιος αντικαθιστούσε 1,12 h, θα έβρισκε 9,6 km.

Άσκηση 4: Ο Ιάκωβος προλαβαίνει τη μαμά

Η μαμά βγαίνει από το σπίτι με το καρότσι με ταχύτητα 4 km/h. Μετά από ένα τέταρτο της ώρας ο Ιάκωβος βλέπει ότι η μαμά ξέχασε τα κλειδιά και τρέχει πίσω της από τον ίδιο δρόμο με ταχύτητα 10 km/h. Σε πόση ώρα θα την προλάβει και πόσο μακριά από το σπίτι;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_1& =4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ {\upsilon }_2& =10\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t_0& =15\min =0,25\mathrm{h}\\ t& =?(\mathrm{h})\end{array}$$

Η μαμά έχει μετά από ένα τέταρτο προβάδισμα s₀ = υ₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Όταν ο ένας φτάνει τον άλλον, η απόσταση μειώνεται με ρυθμό ίσο με τη διαφορά των ταχυτήτων:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{s_0}{{\upsilon }_2-{\upsilon }_1}=\frac{1\mathrm{km}}{10\mathrm{km}/\mathrm{h}-4\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{1}{6}\mathrm{h}=10\min \end{array}$$

Σε αυτό το χρονικό διάστημα ο Ιάκωβος τρέχει

$$s={\upsilon }_2\cdot t=10\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot \frac{1}{6}\mathrm{h}\approx 1,67\mathrm{km}.$$

Επαλήθευση: η μαμά περπατά 15 + 10 = 25 λεπτά, δηλαδή $\frac{25}{60}$ της ώρας, και διανύει $4\cdot \frac{25}{60}\approx 1,67\mathrm{km}$. Συμφωνεί. Ο Ιάκωβος θα προλάβει τη μαμά δέκα λεπτά αφότου ξεκίνησε να τρέχει, περίπου 1,7 km από το σπίτι.

Άσκηση 5: Γατόπαρδος

Ένας γατόπαρδος επιταχύνεται από την ηρεμία ως τα 72 km/h σε 2,5 s. Ποια είναι η μέση επιτάχυνσή του; Και ποια είναι η επιτάχυνσή του όταν από αυτή την ταχύτητα σταματά σε 4 s;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \upsilon & =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =2,5\mathrm{s}\\ \alpha & =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Σύμφωνα με τον τύπο της επιτάχυνσης:

$$\alpha =\frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{20\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2,5\mathrm{s}}=8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ο γατόπαρδος έχει επιτάχυνση 8 m/s², κάθε δευτερόλεπτο γίνεται κατά 8 m/s ταχύτερος. Ένα οικογενειακό αυτοκίνητο, που χρειάζεται δέκα δευτερόλεπτα για τα εκατό, έχει λιγότερο από 3 m/s², άρα ο γατόπαρδος θα το νικούσε εύκολα στην εκκίνηση.

Όταν σταματά, η ταχύτητα πέφτει από 20 m/s στο μηδέν σε 4 s:

$$\alpha =\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Θετική φορά παίρνουμε τη φορά του τρεξίματος, γι' αυτό η αρνητική επιτάχυνση σημαίνει φρενάρισμα. Όταν σταματά, ο γατόπαρδος έχει επιτάχυνση −5 m/s², δηλαδή επιβράδυνση 5 m/s².

Άσκηση 6: Πόσο διάδρομο χρειάζεται το αεροπλάνο

Ένα επιβατικό αεροπλάνο ξεκινά από την ηρεμία στην απογείωση με σταθερή επιτάχυνση 2 m/s² και αποκολλάται από το έδαφος με ταχύτητα 252 km/h. Πόσο μήκος διαδρόμου χρειάζεται και πόση ώρα διαρκεί η επιτάχυνση;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \alpha & =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ \upsilon & =252\mathrm{km}/\mathrm{h}=70\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =?(\mathrm{m}),t=?(\mathrm{s})\end{array}$$

Τον χρόνο δεν τον ξέρουμε, γι' αυτό μας βολεύει η σχέση χωρίς χρόνο ${\upsilon }^2={\upsilon }_0^2+2\alpha s$. Για εκκίνηση από την ηρεμία εκφράζουμε από αυτήν το διάστημα:

$$s=\frac{{\upsilon }^2}{2\alpha }=\frac{(70\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{4.900{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=1.225\mathrm{m}$$

Τον χρόνο της επιτάχυνσης τον υπολογίζουμε από την υ = α · t:

$$t=\frac{\upsilon }{\alpha }=\frac{70\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=35\mathrm{s}$$

Έλεγχος με τη μέση ταχύτητα: στην εκκίνηση από την ηρεμία είναι η μισή της τελικής, 35 m/s, και σε 35 s δίνει 35 m/s · 35 s = 1.225 m. Το αεροπλάνο επιταχύνεται 35 s και χρειάζεται πάνω από 1,2 km διάδρομο. Γι' αυτό τα μεγάλα αεροδρόμια έχουν διαδρόμους μήκους αρκετών χιλιομέτρων, με περιθώριο για διακοπή της απογείωσης.

Άσκηση 7: Ζαρκάδι σε βρεγμένο δρόμο

Ένας οδηγός οδηγεί σε βρεγμένο δρόμο με ταχύτητα 60 km/h και βλέπει 40 m μπροστά του ένα ζαρκάδι. Η αντίδρασή του διαρκεί 1 s, σε βρεγμένη άσφαλτο το αυτοκίνητο φρενάρει με επιβράδυνση 5 m/s². Θα σταματήσει εγκαίρως;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =60\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{60}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_{\alpha }& =1\mathrm{s}\\ |\alpha |& =5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Την ταχύτητα την αφήνουμε ως κλάσμα, για να μη στρογγυλοποιούμε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Το συνολικό διάστημα είναι διάστημα αντίδρασης συν διάστημα πέδησης:

$$s=s_{\alpha }+s_{\pi }=\upsilon \cdot t_{\alpha }+\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot |\alpha |}$$

Αντικαθιστούμε κάθε μέρος ξεχωριστά:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\alpha }& =\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}\approx 16,7\mathrm{m}\\ s_{\pi }& =\frac{{\left(\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{250}{9}\mathrm{m}\approx 27,8\mathrm{m}\end{array}$$

Συνολικά είναι $\frac{400}{9}\mathrm{m}\approx 44,4\mathrm{m}$. Το αυτοκίνητο δεν θα σταματήσει εγκαίρως, θα σταματούσε περίπου 4 m πιο πέρα από το σημείο όπου στέκεται το ζαρκάδι. Σε στεγνό δρόμο με επιβράδυνση 7 m/s² θα του έφταναν 36,5 m, στο βρεγμένο λοιπόν συμφέρει να οδηγείς πιο αργά.

Άσκηση 8: Πέτρα από τη γέφυρα

Από μια γέφυρα αφήνουμε μια πέτρα, που πέφτει στο ποτάμι σε 1,5 s. Πόσο ψηλά είναι η γέφυρα πάνω από την επιφάνεια του νερού και με ποια ταχύτητα χτυπά η πέτρα στο νερό; Την αντίσταση του αέρα την αμελούμε. Πόση ώρα θα έπεφτε από γέφυρα διπλάσιου ύψους;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}t& =1,5\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m}),\upsilon =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Πρόκειται για ελεύθερη πτώση, θετική φορά διαλέγουμε προς τα κάτω:

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1,5\mathrm{s}{)}^2\approx 11\mathrm{m}$$

$$\upsilon =g\cdot t=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,5\mathrm{s}\approx 14,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Αυτά είναι περίπου 53 km/h. Η εκτίμηση με g ≈ 10 m/s² δίνει $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2,25\approx 11\mathrm{m}$, ταιριάζει. Η γέφυρα είναι περίπου 11 m πάνω από την επιφάνεια του νερού και η πέτρα χτυπά με ταχύτητα περίπου 15 m/s.

Διπλάσιο ύψος δεν σημαίνει διπλάσιο χρόνο. Από τη σχέση $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ φαίνεται ότι διπλάσιο ύψος αυξάνει τον χρόνο πτώσης μόνο $\sqrt{2}$ φορές:

$$t^{\prime }=\sqrt{2}\cdot 1,5\mathrm{s}\approx 2,1\mathrm{s}$$

Άσκηση 9: Drone σε πλάγιο άνεμο

Ένα drone πετά ως προς τον αέρα με ταχύτητα 12 m/s και με τη μύτη του κατευθύνεται ακριβώς προς τον βορρά. Φυσά ανατολικός άνεμος, δηλαδή ο αέρας κινείται προς τα δυτικά, με ταχύτητα 5 m/s. Με ποια ταχύτητα κινείται το drone ως προς το έδαφος και κατά ποια γωνία παρεκκλίνει από τον βορρά;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_1& =12\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ {\upsilon }_2& =5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \upsilon & =?(\mathrm{m}/\mathrm{s}),\theta =?\end{array}$$

Το drone κινείται με δύο τρόπους: πετά ως προς τον αέρα και ο αέρας το παρασύρει. Η συνισταμένη ταχύτητα είναι το διανυσματικό άθροισμά τους και επειδή οι δύο ταχύτητες είναι κάθετες, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =\sqrt{{\upsilon }_1^2+{\upsilon }_2^2}=\sqrt{(12\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(5\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =13\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Τη γωνία από τον βορρά τη βρίσκουμε από το ορθογώνιο τρίγωνο των ταχυτήτων, όπου η ταχύτητα του ανέμου είναι η απέναντι κάθετη πλευρά και η συνισταμένη ταχύτητα η υποτείνουσα:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta =\frac{{\upsilon }_2}{\upsilon }=\frac{5}{13}\approx \mathrm{0,385},\theta \approx 22,6°$$

Το απλό άθροισμα θα έδινε 17 m/s, όμως οι ταχύτητες δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 12 m/s και μικρότερο από 17 m/s, και τα 13 m/s είναι. Το drone πετά ως προς το έδαφος με ταχύτητα 13 m/s και ο άνεμος το στρέφει περίπου κατά 23° από τον βορρά προς τη δύση. Σε ένα λεπτό το παρασύρει 300 m στο πλάι.

Άσκηση 10: Ρόδα του λούνα παρκ

Η ρόδα ενός λούνα παρκ έχει ακτίνα 20 m και μία περιστροφή διαρκεί 4 min. Ποια είναι η συχνότητα και η γωνιακή της ταχύτητα και με ποια ταχύτητα κινείται η καμπίνα στην περιφέρεια;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}R& =20\mathrm{m}\\ T& =4\min =240\mathrm{s}\\ f& =?(\mathrm{Hz}),\omega =?(\mathrm{rad}/\mathrm{s}),\upsilon =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Η συχνότητα είναι το αντίστροφο της περιόδου:

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{240\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,004}2\mathrm{Hz}$$

Η γωνιακή ταχύτητα είναι η πλήρης γωνία 2π διά την περίοδο:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{240\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,026}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Η ταχύτητα της καμπίνας:

$$\upsilon =\omega \cdot R=\frac{2\pi \cdot R}{T}=\frac{2\pi \cdot 20\mathrm{m}}{240\mathrm{s}}\approx 0,52\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Η καμπίνα διανύει σε μία περιστροφή την περιφέρεια της ρόδας, περίπου 126 m, σε τέσσερα λεπτά. Αυτά είναι περίπου 1,9 km/h, ένας αργός περίπατος. Στην καμπίνα θα μπορούσε λοιπόν κανείς να ανέβει και εν κινήσει, όπως στις μεγάλες ρόδες θέασης.

Άσκηση 11: Φυγοκεντρητής για πιλότους

Ένας φυγοκεντρητής εκπαίδευσης πιλότων έχει την καμπίνα σε βραχίονα μήκους 8 m. Πόσες φορές το λεπτό πρέπει να περιστρέφεται, ώστε η καμπίνα να έχει κεντρομόλο επιτάχυνση 6g, δηλαδή έξι φορές μεγαλύτερη από την επιτάχυνση της βαρύτητας;

Λύση:

$$\begin{array}{rl}R& =8\mathrm{m}\\ {\alpha }_{\kappa }& =6\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=58,86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ f& =?(\mathrm{Hz})\end{array}$$

Από τον τύπο της κεντρομόλου επιτάχυνσης α_κ = ω² · R εκφράζουμε πρώτα τη γωνιακή ταχύτητα και μετά τη συχνότητα:

$$\begin{array}{rcl}{\omega }^2\cdot R& =& {\alpha }_{\kappa }/:R\\ \omega & =& \sqrt{\frac{{\alpha }_{\kappa }}{R}}\\ f& =& \frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{\alpha }_{\kappa }}{R}}\end{array}$$

Μονάδες: $\sqrt{\frac{{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}}=\frac{1}{\mathrm{s}}$, ταιριάζει. Αντικαθιστούμε:

$$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{58,86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{8\mathrm{m}}}\approx 0,43\mathrm{Hz}$$

Σε ένα λεπτό είναι 0,432 · 60 ≈ 26 στροφές. Μία περιστροφή διαρκεί περίπου 2,3 s και η καμπίνα ορμά με ταχύτητα υ = ω · R ≈ 21,7 m/s, σχεδόν 80 km/h. Ο φυγοκεντρητής πρέπει να κάνει περίπου 26 στροφές το λεπτό.

Άσκηση 12: Το μετρό ανάμεσα σε δύο σταθμούς

Ένας συρμός μετρό ξεκινά από σταθμό με επιτάχυνση 1,2 m/s² για 15 s, μετά κινείται με σταθερή ταχύτητα 30 s και στο τέλος φρενάρει με επιβράδυνση 1,5 m/s², μέχρι να σταματήσει στον επόμενο σταθμό. Πόσο απέχουν οι σταθμοί μεταξύ τους και ποια είναι η μέση ταχύτητα του συρμού;

Λύση: Χωρίζουμε τη διαδρομή σε τρία τμήματα και σε καθένα χρησιμοποιούμε τους τύπους για ένα είδος κίνησης.

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,t_1=15\mathrm{s}\\ t_2& =30\mathrm{s}\\ |{\alpha }_3|& =1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m}),{\upsilon }_{\mu }=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Εκκίνηση από την ηρεμία. Στο τέλος της ο συρμός έχει ταχύτητα

$$\upsilon ={\alpha }_1\cdot t_1=1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 15\mathrm{s}=18\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

και έχει διανύσει

$$s_1=\frac{1}{2}{\alpha }_1{t}_1^2=\frac{1}{2}\cdot 1,2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (15\mathrm{s}{)}^2=135\mathrm{m}.$$

Κίνηση με σταθερή ταχύτητα 18 m/s, δηλαδή περίπου 65 km/h:

$$s_2=\upsilon \cdot t_2=18\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=540\mathrm{m}$$

Φρενάρισμα από 18 m/s ως την ακινησία:

$$\begin{array}{rl}{t}_3& =\frac{\upsilon }{|{\alpha }_3|}=\frac{18\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=12\mathrm{s}\\ s_3& =\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot |{\alpha }_3|}=\frac{(18\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 1,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=108\mathrm{m}\end{array}$$

Συνολικά:

$$\begin{array}{rl}s& =135\mathrm{m}+540\mathrm{m}+108\mathrm{m}=783\mathrm{m}\\ t& =15\mathrm{s}+30\mathrm{s}+12\mathrm{s}=57\mathrm{s}\\ {\upsilon }_{\mu }& =\frac{s}{t}=\frac{783\mathrm{m}}{57\mathrm{s}}\approx 13,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Οι σταθμοί απέχουν περίπου 780 m, ο συρμός διανύει την απόσταση σε λιγότερο από ένα λεπτό με μέση ταχύτητα περίπου 49 km/h. Τα μέγιστα 65 km/h τα έχει μόνο περίπου τον μισό χρόνο, γι' αυτό ο μέσος όρος είναι αισθητά χαμηλότερος. Απόσταση γύρω στο ένα χιλιόμετρο είναι συνηθισμένη για αστικό μετρό.

Άσκηση 13: Ανάγνωση γραφικής παράστασης

Η γραφική παράσταση δείχνει την ταχύτητα του ηλεκτρικού πατινιού του Φίλιππου κατά τη διάρκεια δώδεκα δευτερολέπτων. Ποια επιτάχυνση είχε το πατίνι σε κάθε τμήμα, ποιο διάστημα διήνυσε συνολικά και ποια ήταν η μέση ταχύτητά του;

Λύση: Από τη γραφική παράσταση διαβάζουμε την ταχύτητα στα σημεία όπου αλλάζει το είδος της κίνησης: στην αρχή 4 m/s, τη χρονική στιγμή 4 s ήδη 8 m/s, τη στιγμή 10 s ακόμη 8 m/s και τη στιγμή 12 s μηδέν. Η επιτάχυνση είναι η μεταβολή της ταχύτητας διά τον χρόνο:

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =\frac{8\mathrm{m}/\mathrm{s}-4\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ {\alpha }_2& =0{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ {\alpha }_3& =\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{s}}=-4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Αυτό φαίνεται στη γραφική παράσταση και χωρίς υπολογισμό: όσο πιο απότομο το τμήμα, τόσο μεγαλύτερο το μέτρο της επιτάχυνσης. Ανερχόμενο τμήμα σημαίνει θετική επιτάχυνση, οριζόντιο μηδενική και κατερχόμενο αρνητική: στο τρίτο τμήμα το πατίνι έχει επιτάχυνση −4 m/s², δηλαδή επιβράδυνση 4 m/s².

Το διάστημα είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας. Το πρώτο τμήμα σχηματίζει τραπέζιο, το δεύτερο ορθογώνιο και το τρίτο τρίγωνο:

$$\begin{array}{rl}{s}_1& =\frac{4\mathrm{m}/\mathrm{s}+8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2}\cdot 4\mathrm{s}=24\mathrm{m}\\ s_2& =8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 6\mathrm{s}=48\mathrm{m}\\ s_3& =\frac{1}{2}\cdot 8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{s}=8\mathrm{m}\end{array}$$

Συνολικά s = 80 m σε 12 s, η μέση ταχύτητα είναι

$${\upsilon }_{\mu }=\frac{s}{t}=\frac{80\mathrm{m}}{12\mathrm{s}}\approx 6,7\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Έλεγχος: η μέση ταχύτητα πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στο μηδέν και στη μέγιστη ταχύτητα 8 m/s, και επειδή το πατίνι κινήθηκε τον περισσότερο χρόνο με τη μέγιστη ταχύτητα, θα είναι πιο κοντά σε αυτήν. Το πατίνι είχε διαδοχικά επιτάχυνση 1 m/s², μηδενική και −4 m/s², διήνυσε 80 m και κινήθηκε κατά μέσο όρο με περίπου 6,7 m/s, δηλαδή 24 km/h.

Με την ίδια διαδικασία λύνονται και ασκήσεις στις οποίες υπεισέρχονται δυνάμεις. Αυτές θα τις βρεις στο άρθρο Λυμένες ασκήσεις δυναμικής.