向心力

翔太くんが、ひもにつけた石を頭の上でぐるぐる回します。石は円をえがいて回り、ひもはぴんと張り、翔太くんの手には石がひもを引く感覚が伝わってきます。ところが手をはなすと、石は飛んでいってしまいます。曲がることは、ひとりでには起こらないのです。物体に円周上を回らせるには、円の中心を向く力をはたらかせ続けなければなりません。この力を向心力といいます。

公式だけを知りたい場合は次のとおりです。質量 m の物体が半径 r の円周上を速さ v で回るとき、物体には次の向心力がはたらいていなければなりません。

$F_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{r} = m \cdot ω^{2} \cdot r,$

ここで ω は角速度です。

速度の向きを変える力

等速円運動では速さは変わりませんが、速度の矢印は向きを変え続けます。そのため物体には向心加速度が生じます。向心加速度は円の中心を向き、大きさは次のとおりです。

$a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = ω^{2} \cdot r .$

運動方程式（運動の第2法則）によれば、加速度はすべて合力によって生じ、F = m · a で、合力の向きは加速度の向きと同じです。ですから、円周上の物体には中心向きの合力がはたらいていなければなりません。加速度に向心加速度を代入します。

$F_{c} = m \cdot a_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$

加速度のもう一つの形を代入すると、F_c = m · ω² · r になります。新しいことを考え出したわけではなく、ふつうの運動方程式を曲がる運動にあてはめただけです。単位も合っています。

$\frac{kg \cdot (m / s)^{2}}{m} = {kg \cdot m / s}^{2} = N$

公式からわかるように、物体の質量が大きいほど、速く動くほど、カーブが急なほど、曲がるのは大変になります。速さは2乗されるので、速さが2倍になると4倍の力が必要です。

向心力は新しい種類の力ではない

ここはまちがえやすい所です。向心力は、重力や摩擦力、ひもの張力と並ぶ別の種類の力ではありません。その場面でごくふつうの実際の力、あるいはいくつかの力の合力が果たしている役割のことです。

円周上の石を引き止めているのは、張ったひもの張力です。
カーブで車の向きを変えているのは、タイヤと道路の間の摩擦力です。
月が地球のまわりを回るのは、地球が月を引く万有引力のおかげです。

物体にはたらく力を図にかくときは、実際の力だけをかきましょう。ひもの張力の横に「向心力」と書いた矢印を付け加えるのはまちがいです。図の中でひもの張力を2回かいたことになってしまいます。公式 $F_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$ は、その力がどこから来るかを教えてはくれません。物体が実際に円周上を回るために、中心を向く合力がどれだけの大きさでなければならないかを表しているだけです。1つの力で足りることもあれば、バンクのついたカーブのように、いくつもの力が分担することもあります。

ひもにつけた石

翔太くんの石は質量が 0.2 kg、ひもの長さは 1 m で、1秒間に2回、円周を回ります。つまり周期は 0.5 s です。ひもはどれだけの力で石を引かなければならないでしょうか。

角速度は、1周期あたり1回転、つまり 2π ラジアンです。

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0.5 s} = 4 π rad / s ≒ 12.6 rad / s$

公式のもう一方の形に代入します。ラジアンは単位のない数なので、結果はニュートンで表されます。

$\begin{aligned} F_{c} & = m \cdot ω^{2} \cdot r = 0.2 kg \cdot (4 π rad / s)^{2} \cdot 1 m \\ = 3.2 π^{2} N ≒ 31.6 N \end{aligned}$

ひもはおよそ 32 N の力で石を引いています。3 kgの荷物をつるしたのと同じくらいです。翔太くんが石を2倍の速さで回すと、ひもはその4倍、およそ 126 N に耐えなければなりません。石にはたらく重力はおよそ 2 N しかないので、ここでは無視しました。作用・反作用の法則により、石も同じ大きさの力でひもを引き返し、ひもはその力を翔太くんの手まで伝えます。翔太くんが手に感じているのは、この力です。

ひもが切れたら

ひもが切れると、何が起こるでしょうか。答えはアニメーションでわかります。ひもがつながっている間は、緑の力が石を中心へ引き、赤い速度の矢印は向きを変え続けます。ひもが切れた瞬間、この力はなくなります。水平方向には石に何の力もはたらかなくなるので、慣性の法則により、石は切れた瞬間の速度の向きに、同じ速さでまっすぐ飛んでいきます。それは円の接線の方向です。

ひもにつけた石が円をえがいて回っています。緑のひもの張力は中心を向き、赤い速度は接線の方向を向いています。ひもが切れると、石は接線に沿ってまっすぐ飛んでいきます

そう見えるかもしれませんが、石は中心から外へまっすぐ飛び出すのではありません。外へ引くものは何もなく、石は曲がるのをやめただけです。投石器（スリング）はこれを利用しています。石の速度が的のほうを向いた瞬間に、石をはなすのです。翔太くんの石は速さ $ω \cdot r ≒ 12.6 m / s$ 、時速にしておよそ 45 km/h で飛び出すので、となりの家の窓が危険です。

カーブを曲がる車

質量 1,200 kg の車が、半径 50 m のカーブを速さ 54 km/h で曲がります。速さを換算すると 54 km/h = 15 m/s なので、これを代入します。

$F_{c} = \frac{m \cdot v^{2}}{r} = \frac{1,200 kg \cdot (15 m / s)^{2}}{50 m} = 5,400 N$

この 5,400 N はどこから来るのでしょうか。道路にはひもはありません。車を曲がらせているのは、カーブの中心を向く、タイヤとアスファルトの間の摩擦力だけです。

上から見たカーブを曲がる車：赤い速度は接線の方向を、緑の摩擦力はカーブの中心を向いています。灰色の破線は、摩擦がなかった場合に車が進む道すじです

このとき、タイヤは道路の上を横にすべってはいません。タイヤがアスファルトにふれている部分は、その瞬間には道路に対して動いていないので、はたらいているのは静止摩擦力です。静止摩擦力は必要なだけの大きさ、ここでは 5,400 N になりますが、最大値までです。

どんな道路でも足りるでしょうか。ここでは摩擦力の動摩擦係数を使って計算します。タイヤの静止摩擦係数はふつうそれより少し大きいので、結果は控えめな見積もりになります。ゴムの摩擦係数は、乾いたアスファルトでおよそ 0.7、ぬれたアスファルトで 0.5、雪で 0.3、氷で 0.1 です。車にはたらく重力は 1,200 kg · 9.81 m/s² = 11,772 N で、水平な道路では垂直抗力も同じ大きさです。摩擦力が 5,400 N を生み出さなければならないので、摩擦係数は少なくとも $\frac{5,400 N}{11,772 N} ≒ 0.46$ 必要です。乾いたアスファルトなら余裕で足り、ぬれたアスファルトではぎりぎりです。雪の上では摩擦力は最大でも $0.3 \cdot 11,772 N ≒ 3,500 N$ で、車はカーブを曲がりきれません。

カーブを曲がれる最大の速さ

水平な道路では垂直抗力が重力とつり合い、N = m · g で、摩擦力の最大値は μ' · m · g です。摩擦力が足りている間は、車はカーブを曲がれます。

$\frac{m \cdot v^{2}}{r} ≦ μ^{'} \cdot m \cdot g$

最大の速さは、等号が成り立つときの速さです。質量を約分し、両辺に半径をかけて平方根をとります。

$v_{max} = \sqrt{μ^{'} \cdot g \cdot r}$

乾いたアスファルトでは μ' = 0.7 です。

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{0.7 \cdot 9.81 {m / s}^{2} \cdot 50 m} \\ ≒ 18.5 m / s ≒ 67 km / h \end{aligned}$

乾いた路面では、車がこのカーブを曲がれるのはおよそ 67 km/h までで、さきほどの 54 km/h なら余裕があります。氷の上では μ' = 0.1 です。

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{0.1 \cdot 9.81 {m / s}^{2} \cdot 50 m} \\ ≒ 7 m / s ≒ 25 km / h \end{aligned}$

凍った路面では、同じカーブに入れるのは自転車より少し速いくらいの速さまでです。質量が約分されたので、同じタイヤなら小さな車にも荷物を積んだ大型トラックにも同じことがいえます。質量の大きい車は大きな力を必要としますが、そのぶん道路を強く押すので、摩擦力も大きくなるのです。

車がもっと速くカーブに入ったらどうなるでしょうか。摩擦力は最大値に達し、それ以上は大きくなりません。中心向きの力は半径 50 m の円に必要な力より小さいので、車はあまり曲がれません。車はもっとゆるやかな弧をえがき、極端な場合はほとんど接線に沿ってまっすぐ進み、カーブの外側へはみ出していきます。道路わきで見ている人には、車が「外へ振られた」ように見えます。実際には車を外へ押したものは何もなく、摩擦力が車の向きを十分に変えられなかっただけです。

公式は逆向きにも使えます。120 km/h、つまりおよそ 33.3 m/s で曲がれる高速道路のカーブには、どれだけの半径が必要でしょうか。式 v² = μ' · g · r の両辺を μ' · g で割ります。

$r = \frac{v^{2}}{μ^{'} \cdot g} = \frac{(33.3 m / s)^{2}}{0.7 \cdot 9.81 {m / s}^{2}} ≒ 161 m$

摩擦係数が 0.5 のぬれた路面では、およそ 226 m が必要になり、それでもまったく余裕はありません。そのため高速道路のカーブは半径が数百メートルもあり、さらにバンクがついていることが多いのです。

バンクのついたカーブ

高速道路のランプや自転車競技場、ボブスレーのコースでは、カーブが傾いていて、外側のへりが内側より高くなっています。垂直抗力は路面に垂直なので、もう鉛直上向きではなく、カーブの中心のほうへ斜めに向きます。

バンクのついたカーブの断面（カーブの中心は左）：青い重力 W⃗、路面に垂直な緑の垂直抗力 N⃗、水平に中心を向く黒い破線の合力 F⃗_c

すると重力と垂直抗力は打ち消し合わなくなり、平らな道路で摩擦力が受け持っていた仕事の一部を垂直抗力が引き受けます。適切な速さのときには2つの力の合力が水平に中心を向き、向心力のすべてをまかなうので、車は摩擦がなくても、例えば氷の上でもカーブを曲がれます。図では、平行四辺形で和を作図できるように、2つの力を同じ点からかいてあります。カーブの傾きが急なほど、速く曲がることができます。そのため自転車競技場のカーブは、屋根のように急に傾いています。

月を引き止めているもの

月は地球からおよそ 3.84 · 10⁸ m はなれた所を回っていて、1周するのに27.3日、つまりおよそ 2.36 · 10⁶ s かかります。月の速さは次のとおりです。

$v = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 3.84 \cdot 10^{8} m}{2.36 \cdot 10^{6} s} ≒ 1,020 m / s .$

月の質量はおよそ 7.35 · 10²² kg です。地球が月を引き止めるのに必要な向心力は次のようになります。

$\begin{aligned} F_{c} & = \frac{m \cdot v^{2}}{r} = \frac{7.35 \cdot 10^{22} kg \cdot (1,020 m / s)^{2}}{3.84 \cdot 10^{8} m} \\ ≒ 2 \cdot 10^{20} N \end{aligned}$

これほどの力に耐えられるロープはありません。しかし月にロープは必要なく、その役割を万有引力が果たしています。もし地球が月を引かなくなったら、月は翔太くんの石と同じように接線に沿って飛んでいってしまうでしょう。

カーブを曲がれる最大の速さの計算ツール

カーブの半径を入力し、路面を選んでください。水平な道路での最大の速さ $v_{max} = \sqrt{μ^{'} \cdot g \cdot r}$ を計算します。

ここまではすべて道路の側から見てきました。道路から見ると、車も石も、中心向きの力によって向きを変えられているだけです。ところが車に乗っている人の感じ方はちがいます。体がドアに押しつけられ、その人から見ると、何かがドアのほうへ押しているように思えるのです。車といっしょに動いている人の立場から運動をどう表せばよいかは、慣性力で説明できます。

車の中の人がカーブをどう感じるのか、なぜ外へ押されるように感じるのかは、次の記事慣性力と遠心力で説明します。

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