Řešené příklady z kinematiky

Fyziku se nenaučíte čtením, jen počítáním. Následuje třináct příkladů na pohyb, seřazených od dráhy a posunutí přes zrychlení a volný pád až po dostředivé zrychlení. V posledních dvou se druhy pohybu střídají. Všechny řešíme stejným postupem: zápis, převod jednotek, obecné řešení, dosazení s jednotkami, odhad a odpověď celou větou. Každý příklad nejdřív zkuste spočítat sami, řešení čtěte až potom.

Příklad 1: Klára venčí psa

Klára obchází se psem čtvercový park se stranou 120 m. Z jednoho rohu vyrazí a obejde tři strany parku. Jakou ujde dráhu a jak velké je její posunutí?

Řešení:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Dráha je délka trajektorie, tedy tří stran parku:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Posunutí je šipka z místa startu do místa, kde skončila. Po třech stranách čtverce stojí v rohu, který sousedí s výchozím, takže posunutí vede po čtvrté straně:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Klára ušla 360 m, ale od místa, kde vyšla, je jen 120 m. Kdyby obešla park celý, ušla by 480 m a posunutí by bylo nulové.

Příklad 2: Do kopce a z kopce

Marek vyjede na kole na kopec po silnici dlouhé 3 km rychlostí 12 km/h a stejnou cestou sjede dolů rychlostí 36 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost?

Řešení: Láká to sečíst rychlosti a vydělit dvěma, vyšlo by 24 km/h. Jenže průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovým časem a nahoru jede Marek mnohem déle než dolů.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{p} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Vše máme v kilometrech a hodinách, převod odpadá. Doby jízdy jsou $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ a $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , takže

$v_{p} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Dosadíme:

$\begin{aligned} v_{p} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Nahoru jel Marek čtvrt hodiny, dolů pět minut. Celou trasu zvládl za dvacet minut, a kdo ujede 6 km za třetinu hodiny, ujel by za hodinu 18 km. Průměrně jel Marek 18 km/h, ne 24 km/h.

Příklad 3: Hana jde z chaty

Turistická chata stojí u cesty 4 km za vesnicí. Hana od ní pokračuje dál od vesnice stálou rychlostí 5 km/h. Jak daleko od vesnice bude za 1 hodinu 12 minut?

Řešení:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Pozor na převod. Dvanáct minut není 0,12 h, ale $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hana nevychází od vesnice, ale 4 km od ní, proto k uražené dráze přičteme počáteční dráhu s₀ jako u rovnoměrného přímočarého pohybu:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometry za hodinu krát hodiny dají kilometry, sedí. Za hodinu ujde Hana 5 km, za 1,2 h o pětinu víc, tedy 6 km, a s chatou je to deset. Hana bude 10 km od vesnice. Kdo by dosadil 1,12 h, dostal by 9,6 km.

Příklad 4: Jakub dohání maminku

Maminka vyjde s kočárkem z domu rychlostí 4 km/h. Po čtvrt hodině Jakub zjistí, že zapomněla klíče, a vyběhne za ní stejnou cestou rychlostí 10 km/h. Za jak dlouho ji dohoní a jak daleko od domu?

Řešení:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Maminka má po čtvrt hodině náskok s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Při dohánění se odstup zmenšuje rozdílem rychlostí:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Během té doby Jakub uběhne

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h ≐ 1, 67 km .$

Zkouška: maminka jde 15 + 10 = 25 minut, tedy $\frac{25}{60}$ hodiny, a ujde $4 \cdot \frac{25}{60} ≐ 1, 67 km$ . Souhlasí. Jakub maminku dohoní deset minut po výběhu, asi 1,7 km od domu.

Příklad 5: Gepard

Gepard zrychlí z klidu na 72 km/h za 2,5 s. Jaké má průměrné zrychlení? A jaké zrychlení má potom, když z této rychlosti za 4 s zastaví?

Řešení:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Podle vzorce pro zrychlení:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Gepard má zrychlení 8 m/s², každou sekundu je o 8 m/s rychlejší. Rodinné auto, kterému stovka trvá deset sekund, má necelé 3 m/s², takže gepard by ho na startu hravě porazil.

Při zastavení klesne rychlost z 20 m/s na nulu za 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Kladný směr bereme ve směru běhu, záporné zrychlení proto znamená brzdění. Při zastavení má gepard zrychlení −5 m/s², neboli zpomalení 5 m/s².

Příklad 6: Jak dlouhou dráhu potřebuje letadlo

Dopravní letadlo se na startu rozjíždí z klidu se stálým zrychlením 2 m/s² a odlepí se od země při rychlosti 252 km/h. Jak dlouhý úsek dráhy potřebuje a jak dlouho se rozjíždí?

Řešení:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Čas neznáme, hodí se proto vztah bez času $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Pro rozjezd z klidu z něj vyjádříme dráhu:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4 900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1 225 m$

Dobu rozjezdu vypočteme z v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Kontrola průměrnou rychlostí: ta je u rozjezdu z klidu polovinou konečné, 35 m/s, a za 35 s to dá 35 m/s · 35 s = 1 225 m. Letadlo se rozjíždí 35 s a potřebuje přes 1,2 km dráhy. Proto mají velká letiště ranveje dlouhé několik kilometrů, s rezervou na přerušený start.

Příklad 7: Srna na mokré silnici

Řidič jede po mokré silnici rychlostí 60 km/h a 40 m před sebou spatří srnu. Reakce trvá 1 s, na mokrém asfaltu auto brzdí se zpomalením 5 m/s². Zastaví včas?

Řešení:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Rychlost zůstane zlomkem, ať mezivýsledky nezaokrouhlujeme. Celková dráha je reakční plus brzdná:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Dosadíme každou část zvlášť:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s ≐ 16, 7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m ≐ 27, 8 m \end{aligned}$

Celkem je to $\frac{400}{9} m ≐ 44, 4 m$ . Auto včas nezastaví, zastavilo by teprve asi 4 m za místem, kde srna stojí. Na suchu se zpomalením 7 m/s² by mu stačilo 36,5 m, na mokru se tedy vyplatí jet pomaleji.

Příklad 8: Kámen z mostu

Z mostu pustíme kámen, který dopadne do řeky za 1,5 s. Jak vysoko je most nad hladinou a jakou rychlostí kámen dopadne? Odpor vzduchu zanedbáme. Jak dlouho by padal z mostu dvakrát vyššího?

Řešení:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Jde o volný pád, kladný směr volíme dolů:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} ≐ 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s ≐ 14, 7 m / s$

To je asi 53 km/h. Odhad s g ≈ 10 m/s² dá $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , sedí. Most je zhruba 11 m nad hladinou a kámen dopadne rychlostí asi 15 m/s.

Dvojnásobná výška neznamená dvojnásobný čas. Z $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ je vidět, že dvojnásobná výška prodlouží dobu pádu jen $\sqrt{2}$ krát:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s ≐ 2, 1 s$

Příklad 9: Dron v bočním větru

Dron letí vůči vzduchu rychlostí 12 m/s a přídí míří přesně na sever. Vane východní vítr, tedy vzduch se pohybuje na západ, rychlostí 5 m/s. Jak rychle se dron pohybuje vůči zemi a o jaký úhel se odchýlí od severu?

Řešení:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Dron se pohybuje dvojím způsobem: letí vůči vzduchu a vzduch ho unáší. Výsledná rychlost je jejich vektorový součet, a protože jsou obě rychlosti kolmé, použijeme Pythagorovu větu:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Úhel od severu zjistíme z pravoúhlého trojúhelníku rychlostí, kde rychlost větru je protilehlá odvěsna a výsledná rychlost přepona:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} ≐ 0,385, α ≐ 22, 6 °$

Prostý součet by dal 17 m/s, ale rychlosti nemají stejný směr. Výsledek musí být větší než 12 m/s a menší než 17 m/s, a to 13 m/s je. Dron letí vůči zemi rychlostí 13 m/s a vítr ho stáčí asi o 23° od severu na západ. Za minutu ho zanese 300 m stranou.

Příklad 10: Ruské kolo

Ruské kolo na pouti má poloměr 20 m a jedna otočka trvá 4 min. Jaká je jeho frekvence a úhlová rychlost a jakou rychlostí jede kabinka na obvodu?

Řešení:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekvence je převrácená hodnota periody:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} ≐ 0,004 2 Hz$

Úhlová rychlost udává plný úhel 2π za jednu periodu:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} ≐ 0,026 rad / s$

Rychlost kabinky:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} ≐ 0, 52 m / s$

Kabinka ujede za jednu otočku obvod kola, asi 126 m, za čtyři minuty. To je asi 1,9 km/h, pomalá procházka. Do kabinky by se proto dalo nastupovat i za jízdy, jako u velkých vyhlídkových kol.

Příklad 11: Centrifuga pro piloty

Výcviková centrifuga pro piloty má kabinu na rameni dlouhém 8 m. Kolikrát za minutu se musí otočit, aby kabina měla dostředivé zrychlení 6g, tedy šestkrát větší než tíhové zrychlení?

Řešení:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{d} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Ze vzorce pro dostředivé zrychlení a_d = ω² · r vyjádříme nejdřív úhlovou rychlost, pak frekvenci:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{d} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{d}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{d}}{r}} \end{array}$

Jednotky: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , sedí. Dosadíme:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} ≐ 0, 43 Hz$

Za minutu je to 0,432 · 60 ≐ 26 otáček. Jedna otočka trvá asi 2,3 s a kabina se řítí rychlostí v = ω · r ≐ 21,7 m/s, skoro 80 km/h. Centrifuga se musí otočit asi 26krát za minutu.

Příklad 12: Metro mezi stanicemi

Souprava metra se rozjíždí ze stanice se zrychlením 1,2 m/s² po dobu 15 s, pak jede stálou rychlostí 30 s a nakonec brzdí se zpomalením 1,5 m/s², až zastaví v další stanici. Jak daleko jsou od sebe stanice a jaká je průměrná rychlost soupravy?

Řešení: Jízdu rozdělíme na tři úseky a v každém použijeme vzorce pro jeden druh pohybu.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{p} = ? (m / s) \end{aligned}$

Rozjezd z klidu. Na jeho konci má souprava rychlost

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

a ujela

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Jízda stálou rychlostí 18 m/s, tedy asi 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Brzdění z 18 m/s do zastavení:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Celkem:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{p} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} ≐ 13, 7 m / s \end{aligned}$

Stanice jsou od sebe asi 780 m, souprava je urazí za necelou minutu průměrnou rychlostí asi 49 km/h. Nejvyšších 65 km/h jede jen zhruba polovinu času, proto je průměr znatelně nižší. Vzdálenost kolem kilometru je pro městské metro obvyklá.

Příklad 13: Čtení z grafu

Graf zachycuje rychlost Filipovy elektrické koloběžky během dvanácti sekund. Jaké zrychlení měla koloběžka v jednotlivých úsecích, jakou dráhu za celou dobu ujela a jaká byla její průměrná rychlost?

Graf rychlosti v na čase t: od 0 do 4 s roste ze 4 na 8 m/s, od 4 do 10 s je stálá, od 10 do 12 s klesne na nulu

Řešení: Z grafu odečteme rychlost v bodech, kde se mění druh pohybu: na začátku 4 m/s, v čase 4 s už 8 m/s, v čase 10 s pořád 8 m/s a v čase 12 s nula. Zrychlení je změna rychlosti dělená dobou:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

To je na grafu vidět i bez počítání: čím strmější úsek, tím větší velikost zrychlení. Stoupající úsek znamená kladné zrychlení, vodorovný nulové a klesající záporné: ve třetím úseku má koloběžka zrychlení −4 m/s², neboli zpomalení 4 m/s².

Dráha je plocha pod grafem rychlosti. První úsek tvoří lichoběžník, druhý obdélník a třetí trojúhelník:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Celkem s = 80 m za 12 s, průměrná rychlost je

$v_{p} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} ≐ 6, 7 m / s .$

Kontrola: průměrná rychlost musí ležet mezi nulou a nejvyšší rychlostí 8 m/s, a protože koloběžka jela většinu času osmičkou, bude blíž k ní. Koloběžka měla zrychlení postupně 1 m/s², nulové a −4 m/s², ujela 80 m a jela průměrně asi 6,7 m/s, tedy 24 km/h.

Stejným postupem se dají řešit i úlohy, ve kterých vystupují síly. Ty najdete v článku Řešené příklady z dynamiky.

« Předchozí: Setrvačné síly

Další: Řešené příklady z dynamiky »