Ratkaistuja kinematiikan tehtäviä

Fysiikkaa ei opi lukemalla vaan laskemalla. Seuraavassa on kolmetoista liikettä koskevaa tehtävää, järjestettynä matkasta ja siirtymästä kiihtyvyyden ja vapaan pudotuksen kautta keskeiskiihtyvyyteen. Kahdessa viimeisessä liiketyypit vaihtelevat. Kaikki ratkaistaan samalla tavalla: merkitään tiedot, muutetaan yksiköt, johdetaan yleinen ratkaisu, sijoitetaan yksiköiden kanssa, arvioidaan tulos ja vastataan kokonaisella lauseella. Yritä jokainen tehtävä ensin laskea itse, ja lue ratkaisu vasta sitten.

Esimerkki 1: Klaara ulkoiluttaa koiraa

Klaara kiertää koiran kanssa neliönmuotoista puistoa, jonka sivu on 120 m. Hän lähtee yhdestä kulmasta ja kiertää kolme puiston sivua. Kuinka pitkän matkan hän kulkee ja kuinka suuri on hänen siirtymänsä?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \bar{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Matka on radan pituus eli kolmen puiston sivun pituus:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Siirtymä on nuoli lähtöpisteestä pisteeseen, jossa hän päätyi. Kolmen neliön sivun jälkeen hän on kulmassa, joka on lähtökulman vieressä, joten siirtymä kulkee neljättä sivua pitkin:

$| Δ \bar{r} | = 120 m$

Klaara käveli 360 m, mutta on vain 120 m:n päässä paikasta, josta lähti. Jos hän olisi kiertänyt koko puiston, hän olisi kulkenut 480 m ja siirtymä olisi nolla.

Esimerkki 2: Ylämäkeen ja alamäkeen

Mikael pyöräilee mäen päälle 3 km pitkää tietä nopeudella 12 km/h ja laskee samaa tietä alas nopeudella 36 km/h. Mikä on hänen keskinopeutensa?

Ratkaisu: On houkuttelevaa laskea nopeudet yhteen ja jakaa kahdella, jolloin saataisiin 24 km/h. Keskinopeus on kuitenkin kokonaismatka jaettuna kokonaisajalla, ja ylös Mikael kulkee paljon pitempään kuin alas.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{k} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Kaikki on kilometreinä ja tunteina, muuttamista ei tarvita. Matka-ajat ovat $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ ja $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , joten

$v_{k} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Sijoitetaan:

$\begin{aligned} v_{k} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Ylös Mikael kulki neljännestunnin, alas viisi minuuttia. Koko reitin hän taittoi kahdessakymmenessä minuutissa, ja joka kulkee 6 km kolmanneksessa tunnista, kulkisi tunnissa 18 km. Mikaelin keskinopeus oli 18 km/h, ei 24 km/h.

Esimerkki 3: Hanna kävelee majalta

Retkeilymaja on tien varrella 4 km kylän takana. Hanna jatkaa majalta eteenpäin kylästä poispäin tasaisella nopeudella 5 km/h. Kuinka kaukana kylästä hän on 1 tunnin 12 minuutin kuluttua?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Varo muunnosta. Kaksitoista minuuttia ei ole 0,12 h vaan $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hanna ei lähde kylästä vaan 4 km:n päästä siitä, joten kuljettuun matkaan lisätään alkumatka s₀ kuten tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometriä tunnissa kertaa tunnit antaa kilometrejä, yksiköt täsmäävät. Tunnissa Hanna kulkee 5 km, ajassa 1,2 h viidenneksen enemmän eli 6 km, ja majan kanssa matka on kymmenen. Hanna on 10 km:n päässä kylästä. Joka sijoittaisi 1,12 h, saisi 9,6 km.

Esimerkki 4: Jaakko ottaa äidin kiinni

Äiti lähtee lastenvaunujen kanssa kotoa nopeudella 4 km/h. Neljännestunnin kuluttua Jaakko huomaa, että äiti unohti avaimet, ja juoksee perään samaa tietä nopeudella 10 km/h. Kuinka pian hän saavuttaa äidin ja kuinka kaukana kotoa?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Äidillä on neljännestunnin kuluttua etumatkaa s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Kiinniotossa etäisyys pienenee nopeuksien erotuksella:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Sinä aikana Jaakko juoksee

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Tarkistus: äiti kävelee 15 + 10 = 25 minuuttia eli $\frac{25}{60}$ tuntia ja kulkee $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Täsmää. Jaakko saavuttaa äidin kymmenen minuuttia lähdön jälkeen, noin 1,7 km:n päässä kotoa.

Esimerkki 5: Gepardi

Gepardi kiihtyy levosta nopeuteen 72 km/h ajassa 2,5 s. Mikä on sen keskikiihtyvyys? Ja mikä on kiihtyvyys, kun se pysähtyy tästä nopeudesta ajassa 4 s?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Kiihtyvyyden kaavalla:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Gepardin kiihtyvyys on 8 m/s², joka sekunti se on 8 m/s nopeampi. Perheauton, jolta sataan kiihtymiseen menee kymmenen sekuntia, kiihtyvyys on alle 3 m/s², joten gepardi voittaisi sen lähdössä helposti.

Pysähtyessä nopeus laskee arvosta 20 m/s nollaan ajassa 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Positiivinen suunta on juoksusuunta, joten negatiivinen kiihtyvyys tarkoittaa jarruttamista. Pysähtyessään gepardin kiihtyvyys on −5 m/s² eli hidastuvuus 5 m/s².

Esimerkki 6: Kuinka pitkän kiitotien lentokone tarvitsee

Matkustajalentokone lähtee lentoonlähdössä liikkeelle levosta tasaisella kiihtyvyydellä 2 m/s² ja irtoaa maasta nopeudella 252 km/h. Kuinka pitkän kiitotien osuuden se tarvitsee ja kuinka kauan se kiihdyttää?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Aikaa ei tunneta, joten sopii ajaton yhtälö $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Levosta lähdettäessä siitä ratkaistaan matka:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4 900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1 225 m$

Kiihdytysaika lasketaan kaavasta v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Tarkistus keskinopeudella: se on levosta lähdettäessä puolet loppunopeudesta, 35 m/s, ja ajassa 35 s se antaa 35 m/s · 35 s = 1 225 m. Lentokone kiihdyttää 35 s ja tarvitsee yli 1,2 km kiitotietä. Siksi suurilla lentokentillä kiitotiet ovat useita kilometrejä pitkiä, ja niissä on varaa keskeytetylle lentoonlähdölle.

Esimerkki 7: Kauris märällä tiellä

Kuljettaja ajaa märällä tiellä nopeudella 60 km/h ja huomaa 40 m edessään kauriin. Reagointi kestää 1 s, märällä asfaltilla auto jarruttaa hidastuvuudella 5 m/s². Ehtiikö se pysähtyä?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Nopeus jätetään murtoluvuksi, jottei välituloksia tarvitse pyöristää. Kokonaismatka on reaktiomatka plus jarrutusmatka:

$s = s_{r} + s_{j} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Sijoitetaan kumpikin osa erikseen:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{j} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Yhteensä se on $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Auto ei ehdi pysähtyä, se pysähtyisi vasta noin 4 m kauriin paikan jälkeen. Kuivalla tiellä hidastuvuudella 7 m/s² riittäisi 36,5 m, joten märällä kannattaa ajaa hitaammin.

Esimerkki 8: Kivi sillalta

Sillalta pudotetaan kivi, joka putoaa jokeen ajassa 1,5 s. Kuinka korkealla silta on vedenpinnasta ja millä nopeudella kivi osuu veteen? Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka kauan se putoaisi kaksi kertaa korkeammalta sillalta?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Kyse on vapaasta pudotuksesta, positiivinen suunta valitaan alaspäin:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Se on noin 53 km/h. Arvio arvolla g ≈ 10 m/s² antaa $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , täsmää. Silta on noin 11 m vedenpinnan yläpuolella ja kivi osuu veteen nopeudella noin 15 m/s.

Kaksinkertainen korkeus ei tarkoita kaksinkertaista aikaa. Kaavasta $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ nähdään, että kaksinkertainen korkeus pidentää pudotusaikaa vain $\sqrt{2}$ -kertaiseksi:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Esimerkki 9: Drooni sivutuulessa

Drooni lentää ilmaan nähden nopeudella 12 m/s ja sen keula osoittaa täsmälleen pohjoiseen. Puhaltaa itätuuli, eli ilma liikkuu länteen, nopeudella 5 m/s. Kuinka nopeasti drooni liikkuu maahan nähden ja kuinka monta astetta se poikkeaa pohjoisesta?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Drooni liikkuu kahdella tavalla: se lentää ilmaan nähden ja ilma kuljettaa sitä mukanaan. Lopputulos on niiden vektorisumma, ja koska nopeudet ovat toisiaan vastaan kohtisuorat, käytetään Pythagoraan lausetta:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Kulma pohjoisesta saadaan nopeuksien suorakulmaisesta kolmiosta, jossa tuulen nopeus on vastakkainen kateetti ja tuloksena oleva nopeus hypotenuusa:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Pelkkä summa antaisi 17 m/s, mutta nopeuksilla ei ole samaa suuntaa. Tuloksen täytyy olla suurempi kuin 12 m/s ja pienempi kuin 17 m/s, ja 13 m/s on. Drooni lentää maahan nähden nopeudella 13 m/s ja tuuli kääntää sitä noin 23° pohjoisesta länteen. Minuutissa se ajautuu 300 m sivuun.

Esimerkki 10: Maailmanpyörä

Huvipuiston maailmanpyörän säde on 20 m ja yksi kierros kestää 4 min. Mikä on sen taajuus ja kulmanopeus ja millä nopeudella kehällä oleva kori kulkee?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Taajuus on jaksonajan käänteisluku:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Kulmanopeus kertoo täyden kulman 2π yhdessä jaksonajassa:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Korin nopeus:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

Kori kulkee yhdessä kierroksessa pyörän kehän, noin 126 m, neljässä minuutissa. Se on noin 1,9 km/h, hidas kävelyvauhti. Koriin voisi siksi nousta myös liikkeen aikana, kuten suurissa näköalapyörissä.

Esimerkki 11: Lentäjien sentrifugi

Lentäjien koulutussentrifugin kori on 8 m pitkän varren päässä. Kuinka monta kertaa minuutissa sen täytyy kiertää, jotta korin keskeiskiihtyvyys on 6g eli kuusi kertaa putoamiskiihtyvyys?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{n} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Keskeiskiihtyvyyden kaavasta a_n = ω² · r ratkaistaan ensin kulmanopeus ja sitten taajuus:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{n} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{n}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{n}}{r}} \end{array}$

Yksiköt: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , täsmää. Sijoitetaan:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Minuutissa se on 0,432 · 60 ≈ 26 kierrosta. Yksi kierros kestää noin 2,3 s ja kori syöksyy nopeudella v = ω · r ≈ 21,7 m/s, melkein 80 km/h. Sentrifugin täytyy kiertää noin 26 kertaa minuutissa.

Esimerkki 12: Metro asemien välillä

Metrojuna lähtee asemalta kiihtyvyydellä 1,2 m/s² ajan 15 s, kulkee sitten tasaisella nopeudella 30 s ja jarruttaa lopuksi hidastuvuudella 1,5 m/s², kunnes pysähtyy seuraavalle asemalle. Kuinka kaukana asemat ovat toisistaan ja mikä on junan keskinopeus?

Ratkaisu: Matka jaetaan kolmeen osuuteen ja jokaisessa käytetään yhden liikelajin kaavoja.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{k} = ? (m / s) \end{aligned}$

Kiihdytys levosta. Sen lopussa junan nopeus on

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

ja se on kulkenut

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Kulku tasaisella nopeudella 18 m/s, eli noin 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Jarrutus nopeudesta 18 m/s pysähtymiseen:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Yhteensä:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{k} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Asemat ovat noin 780 m:n päässä toisistaan, ja juna kulkee välin alle minuutissa keskinopeudella noin 49 km/h. Suurinta nopeutta 65 km/h se ajaa vain noin puolet ajasta, siksi keskinopeus on selvästi pienempi. Noin kilometrin väli on kaupunkimetrolle tavallinen.

Esimerkki 13: Kuvaajan lukeminen

Kuvaaja esittää Vilhon sähköpotkulaudan nopeutta kahdentoista sekunnin aikana. Mikä oli potkulaudan kiihtyvyys eri osuuksilla, kuinka pitkän matkan se kulki koko ajan ja mikä oli sen keskinopeus?

Nopeuden v kuvaaja ajan t funktiona: ajasta 0 s aikaan 4 s nopeus kasvaa arvosta 4 m/s arvoon 8 m/s, välillä 4 s – 10 s se on vakio, välillä 10 s – 12 s se laskee nollaan

Ratkaisu: Kuvaajasta luetaan nopeus kohdista, joissa liikelaji vaihtuu: alussa 4 m/s, ajassa 4 s jo 8 m/s, ajassa 10 s yhä 8 m/s ja ajassa 12 s nolla. Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Sen näkee kuvaajasta ilman laskemistakin: mitä jyrkempi osuus, sitä suurempi kiihtyvyyden suuruus. Nouseva osuus tarkoittaa positiivista kiihtyvyyttä, vaakasuora nollaa ja laskeva negatiivista: kolmannella osuudella potkulaudan kiihtyvyys on −4 m/s² eli hidastuvuus 4 m/s².

Matka on nopeuskuvaajan alle jäävä ala. Ensimmäinen osuus on puolisuunnikas, toinen suorakulmio ja kolmas kolmio:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Yhteensä s = 80 m ajassa 12 s, ja keskinopeus on

$v_{k} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Tarkistus: keskinopeuden täytyy olla nollan ja suurimman nopeuden 8 m/s välillä, ja koska potkulauta kulki suurimman osan ajasta kahdeksalla, se on lähempänä sitä. Potkulaudan kiihtyvyys oli peräkkäin 1 m/s², nolla ja −4 m/s², se kulki 80 m ja sen keskinopeus oli noin 6,7 m/s, eli 24 km/h.

Samalla tavalla voi ratkaista myös tehtäviä, joissa esiintyy voimia. Ne löydät artikkelista Ratkaistuja dynamiikan tehtäviä.

« Edellinen: Hitausvoimat

Seuraava: Ratkaistuja dynamiikan tehtäviä »