Megoldott kinematikai feladatok

A fizikát nem olvasással tanulod meg, hanem számolással. Alább tizenhárom feladat következik a mozgásról, az úttól és az elmozdulástól a gyorsuláson és a szabadesésen át a centripetális gyorsulásig. Az utolsó kettőben a mozgásfajták váltakoznak. Mindet ugyanazzal a módszerrel oldjuk meg: adatok felírása, mértékegységek átváltása, általános megoldás, behelyettesítés mértékegységekkel, becslés és válasz teljes mondatban. Minden feladatot először próbálj meg magad kiszámolni, és a megoldást csak utána olvasd el.

1. feladat: Klára sétáltatja a kutyát

Klára a kutyájával egy négyzet alakú, 120 m oldalú parkot kerül meg. Az egyik sarokból indul, és a park három oldalát járja végig. Mekkora utat tesz meg, és mekkora az elmozdulása?

Megoldás:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Az út a pálya hossza, vagyis a park három oldalának hossza:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Az elmozdulás a kiindulási helytől a végpontig mutató nyíl. A négyzet három oldala után Klára a kiindulóval szomszédos sarokban áll, így az elmozdulás a negyedik oldal mentén halad:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Klára 360 m utat gyalogolt, de attól a helytől, ahonnan elindult, csak 120 m távolságra van. Ha az egész parkot körbejárta volna, 480 m utat tett volna meg, és az elmozdulása nulla lenne.

2. feladat: Hegynek fel és le

Máté egy 3 km hosszú úton 12 km/h sebességgel teker fel a dombra, ugyanazon az úton pedig 36 km/h sebességgel gurul le. Mekkora az átlagsebessége?

Megoldás: Kísértés a két sebességet összeadni és kettővel osztani, ebből 24 km/h jönne ki. Az átlagsebesség azonban az összes út osztva az összes idővel, és Máté felfelé sokkal tovább megy, mint lefelé.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ v_{á tl} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Mindent kilométerben és órában adtunk meg, átváltani nem kell. Az utazási idők $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ és $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , tehát

$v_{á tl} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Behelyettesítünk:

$\begin{aligned} v_{á tl} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Felfelé Máté negyed óráig ment, lefelé öt percig. Az egész útvonalat húsz perc alatt tette meg, és aki egy harmad óra alatt 6 km utat tesz meg, az egy óra alatt 18 km utat tenne meg. Máté átlagsebessége 18 km/h volt, nem 24 km/h.

3. feladat: Hanna a menedékháztól megy tovább

Egy menedékház az út mentén, a falutól 4 km távolságra áll. Hanna onnan állandó 5 km/h sebességgel megy tovább, a falutól távolodva. Milyen messze lesz a falutól 1 óra 12 perc múlva?

Megoldás:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Figyelj az átváltásra. Tizenkét perc nem 0,12 h, hanem $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Hanna nem a faluból indul, hanem 4 km távolságra tőle, ezért a megtett úthoz hozzáadjuk a kezdeti s₀ utat, mint az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

A kilométer per óra szorozva órával kilométert ad, stimmel. Egy óra alatt Hanna 5 km utat tesz meg, 1,2 h alatt egy ötödével többet, vagyis 6 km utat, és a menedékházig tartó szakasszal együtt ez tíz. Hanna 10 km távolságra lesz a falutól. Aki 1,12 h értéket helyettesítene be, 9,6 km eredményt kapna.

4. feladat: Jakab utoléri az anyukáját

Az anyuka babakocsival indul el otthonról 4 km/h sebességgel. Negyed óra múlva Jakab észreveszi, hogy az anyja otthon felejtette a kulcsot, és ugyanazon az úton utánafut 10 km/h sebességgel. Mennyi idő alatt éri utol, és milyen messze az otthonuktól?

Megoldás:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Az anyukának negyed óra után s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km az előnye. Az utolérésnél a távolság a sebességek különbségével csökken:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Ennyi idő alatt Jakab ennyit fut meg:

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Ellenőrzés: az anyuka 15 + 10 = 25 percig megy, vagyis $\frac{25}{60}$ óráig, és $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ utat tesz meg. Egyezik. Jakab tíz perccel az indulása után éri utol az anyukáját, az otthonuktól körülbelül 1,7 km távolságra.

5. feladat: Gepárd

A gepárd nyugalomból 2,5 s alatt gyorsul fel 72 km/h sebességre. Mekkora az átlagos gyorsulása? És mekkora a gyorsulása, amikor ebből a sebességből 4 s alatt megáll?

Megoldás:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

A gyorsulás képlete szerint:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

A gepárd gyorsulása 8 m/s², a sebessége minden másodpercben 8 m/s értékkel nő. Egy családi autó, amelynek a százra gyorsuláshoz tíz másodperc kell, nem egészen 3 m/s² gyorsulású, így a gepárd a rajtnál könnyedén lehagyná.

Megálláskor a sebesség 20 m/s értékről nullára csökken 4 s alatt:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

A pozitív irányt a futás irányába vesszük, ezért a negatív gyorsulás fékezést jelent. A gepárd gyorsulása megálláskor −5 m/s², vagyis a lassulása 5 m/s².

6. feladat: Milyen hosszú kifutópálya kell a repülőgépnek

Az utasszállító repülőgép nyugalomból, állandó 2 m/s² gyorsulással gyorsul a felszállásnál, és 252 km/h sebességnél emelkedik el a földtől. Milyen hosszú pályaszakaszra van szüksége, és mennyi ideig gyorsul?

Megoldás:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Az időt nem ismerjük, ezért az idő nélküli összefüggés jön jól, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Nyugalomból induló gyorsulásnál ebből az utat fejezzük ki:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1225 m$

A gyorsulás idejét a v = a · t összefüggésből számoljuk ki:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Ellenőrzés az átlagsebességgel: nyugalomból induló gyorsulásnál ez a végsebesség fele, 35 m/s, és 35 s alatt ez 35 m/s · 35 s = 1225 m utat ad. A repülőgép 35 s ideig gyorsul, és több mint 1,2 km pályára van szüksége. Ezért vannak a nagy repülőtereken több kilométeres kifutópályák, tartalékkal a megszakított felszállásra.

7. feladat: Őz a nedves úton

A sofőr nedves úton 60 km/h sebességgel halad, és 40 m távolságban maga előtt meglát egy őzet. A reakcióidő 1 s, nedves aszfalton az autó 5 m/s² lassulással fékez. Megáll időben?

Megoldás:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

A sebességet törtként hagyjuk, hogy a közbenső eredményeket ne kelljen kerekíteni. A teljes út a reakcióút és a fékút összege:

$s = s_{r} + s_{f} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Behelyettesítjük külön-külön mindkét részt:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{f} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Összesen $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Az autó nem áll meg időben, csak körülbelül 4 m távolsággal az őz helye mögött állna meg. Száraz úton 7 m/s² lassulással elég lenne neki 36,5 m, nedves úton tehát érdemes lassabban menni.

8. feladat: Kő a hídról

A hídról elejtünk egy követ, amely 1,5 s múlva esik a folyóba. Milyen magasan van a híd a vízfelszín fölött, és mekkora sebességgel csapódik be a kő? A légellenállást elhanyagoljuk. Mennyi ideig esne egy kétszer magasabb hídról?

Megoldás:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Szabadesésről van szó, a pozitív irányt lefelé választjuk:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Ez körülbelül 53 km/h. A g ≈ 10 m/s² értékkel végzett becslés $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , ez stimmel. A híd nagyjából 11 m magasan van a vízfelszín fölött, és a kő körülbelül 15 m/s sebességgel csapódik be.

A kétszeres magasság nem jelent kétszeres időt. A $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ képletből látszik, hogy a kétszeres magasság az esés idejét csak $\sqrt{2}$ -szeresére növeli:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

9. feladat: Drón oldalszélben

A drón a levegőhöz képest 12 m/s sebességgel repül, és az orra pontosan északra mutat. Keleti szél fúj, vagyis a levegő nyugat felé mozog 5 m/s sebességgel. Milyen sebességgel mozog a drón a földhöz képest, és mekkora szöggel tér el az északi iránytól?

Megoldás:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

A drón kétféleképpen mozog: a levegőhöz képest repül, és a levegő elviszi. Az eredő sebesség a két sebesség vektoriális összege, és mivel a két sebesség merőleges egymásra, a Pitagorasz-tételt használjuk:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Az északtól való eltérést a sebességek derékszögű háromszögéből kapjuk, ahol a szél sebessége a szöggel szemközti befogó, az eredő sebesség pedig az átfogó:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

A puszta összeg 17 m/s lenne, de a sebességek iránya nem egyezik. Az eredménynek nagyobbnak kell lennie, mint 12 m/s, és kisebbnek, mint 17 m/s, és a 13 m/s megfelel ennek. A drón a földhöz képest 13 m/s sebességgel repül, és a szél körülbelül 23° szöggel téríti el északtól nyugat felé. Egy perc alatt 300 m távolságra sodorja oldalra.

10. feladat: Óriáskerék

A vidámparki óriáskerék sugara 20 m, és egy fordulata 4 min ideig tart. Mekkora a frekvenciája és a szögsebessége, és mekkora sebességgel megy a kabin a kerék szélén?

Megoldás:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

A frekvencia a periódusidő reciproka:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

A szögsebesség a teljes 2π szög osztva egy periódusidővel:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

A kabin sebessége:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

A kabin egy fordulat alatt a kerék kerületét, körülbelül 126 m utat tesz meg négy perc alatt. Ez körülbelül 1,9 km/h, lassú séta. A kabinba ezért menet közben is be lehetne szállni, ahogy a nagy kilátókerekeknél.

11. feladat: Centrifuga pilótáknak

A pilóták kiképzésére szolgáló centrifuga kabinja egy 8 m hosszú karon van. Percenként hányszor kell körbefordulnia, hogy a kabin centripetális gyorsulása 6g legyen, vagyis hatszor akkora, mint a nehézségi gyorsulás?

Megoldás:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{cp} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

A centripetális gyorsulás a_cp = ω² · r képletéből először a szögsebességet, aztán a frekvenciát fejezzük ki:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{cp} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{cp}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{cp}}{r}} \end{array}$

Mértékegységek: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , stimmel. Behelyettesítünk:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Percenként ez 0,432 · 60 ≈ 26 fordulat. Egy fordulat körülbelül 2,3 s ideig tart, és a kabin v = ω · r ≈ 21,7 m/s sebességgel száguld, ez majdnem 80 km/h. A centrifugának percenként körülbelül 26 fordulatot kell tennie.

12. feladat: Metró két megálló között

A metrószerelvény az állomásról 1,2 m/s² gyorsulással indul 15 s ideig, aztán 30 s ideig állandó sebességgel megy, végül 1,5 m/s² lassulással fékez, amíg meg nem áll a következő állomáson. Milyen messze van egymástól a két állomás, és mekkora a szerelvény átlagsebessége?

Megoldás: A menetet három szakaszra bontjuk, és mindegyikben az adott mozgásfajta képleteit használjuk.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), v_{á tl} = ? (m / s) \end{aligned}$

Gyorsulás nyugalomból. A végén a szerelvény sebessége

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

a megtett út pedig

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Menet állandó 18 m/s, vagyis körülbelül 65 km/h sebességgel:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Fékezés 18 m/s sebességről megállásig:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Összesen:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ v_{á tl} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Az állomások körülbelül 780 m távolságra vannak egymástól, a szerelvény egy percnél rövidebb idő alatt teszi meg ezt a távot, körülbelül 49 km/h átlagsebességgel. A legnagyobb, 65 km/h sebességgel csak nagyjából az idő felében megy, ezért az átlag érezhetően alacsonyabb. A kilométer körüli távolság a városi metrónál megszokott.

13. feladat: Grafikon leolvasása

A grafikon Fülöp elektromos rollerének sebességét mutatja tizenkét másodpercen át. Mekkora volt a roller gyorsulása az egyes szakaszokon, mekkora utat tett meg az egész idő alatt, és mekkora volt az átlagsebessége?

A v sebesség grafikonja a t idő függvényében: 0-tól 4 s-ig 4-ről 8 m/s-ra nő, 4-től 10 s-ig állandó, 10-től 12 s-ig nullára csökken

Megoldás: A grafikonról leolvassuk a sebességet azokban a pontokban, ahol a mozgás fajtája változik: az elején 4 m/s, a 4 s időpontban már 8 m/s, a 10 s időpontban még mindig 8 m/s, a 12 s időpontban pedig nulla. A gyorsulás a sebességváltozás osztva az idővel:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Ez a grafikonon számolás nélkül is látszik: minél meredekebb a szakasz, annál nagyobb a gyorsulás nagysága. Az emelkedő szakasz pozitív gyorsulást jelent, a vízszintes nullát, a csökkenő negatívot: a harmadik szakaszban a roller gyorsulása −4 m/s², vagyis a lassulása 4 m/s².

Az út a sebesség grafikonja alatti terület. Az első szakasz trapéz, a második téglalap, a harmadik háromszög:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Összesen s = 80 m utat tett meg 12 s alatt, az átlagsebesség

$v_{á tl} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Ellenőrzés: az átlagsebességnek nulla és a legnagyobb, 8 m/s sebesség között kell lennie, és mivel a roller az idő nagy részében ezzel a sebességgel ment, ehhez áll közelebb. A roller gyorsulása egymás után 1 m/s², nulla és −4 m/s² volt, 80 m utat tett meg, és átlagosan körülbelül 6,7 m/s, vagyis 24 km/h sebességgel haladt.

Ugyanígy oldhatók meg azok a feladatok is, amelyekben erők szerepelnek. Ezeket a következő, Megoldott dinamikai feladatok című cikkben találod.

« Előző: Tehetetlenségi erők

Következő: Megoldott dinamikai feladatok »